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2021年普通高等学校招生全国统一考试 （新高考II卷） 　数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数 (2-i) / (1-3i)在复平面内对应的点所在的象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．设集合U = {1,2,,3,4,5,6}，A = {1,3,6}，B = {2,3,4}，则 A∩(C_U B) =A．{3}　B．{1,6}　C．{5,6}　D．{1,3}

3．抛物线y² = 2 px (p > 0) 的焦点到直线 y = x + 1 的距离为，则p =A．1　B．2　C．2　D．4

4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000 km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 O，半径 r 为6400 km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S = 2πr² (1 - cosα )（单位：km² ），则S占地球表面积的百分比约为A．26%　B．34%　C．42%　D．50%

5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为A．20 + 12　B．28　C．56/3　D．28/3

6．某物理量的测量结果服从正态分布N (10,σ² )，下列结论中不正确的是
　A．σ 越小，该物理量在一次测量中在(9.9 , 10.1)的概率越大　B．σ 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
　C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01概率相等　D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与(10, 10.3)概率相等

7．已知，a = ㏒₅2，b = ㏒₈3，c = 1/2，则下列判断正确的是A．c < b < a　B．b < a < c　C．a < c < b　D．a < b < c

8．函数 f(x) 的定义域为R， f(x + 2) 为偶函数， f(2x + 1) 为奇函数，则A． f(-1/2) = 0　B． f(-1) = 0　C． f(2) = 0　D． f(4) = 0

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部对5分，有选错的得0分.
9．下列统计量中，能度量样本x₁,x₂,…,x_n 的离散程度的是

10．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足MN⊥OP 的是

11．已知直线l : ax + by - r² = 0 与圆C: x² + y² = r² ，点A(a,b)，则下列说法正确的是A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切

12．设正整数n = a₀·2⁰ + a₁·2 + … +a_k-1·2^k-1 + a_k·2^k ，其中a_i ∈ {0,1}，记ω(n) = a₀ + a₁ + … + a_k ,则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知双曲线 x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0） 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______.

14．写出同时有下列性质①②③的函数f (x) ：____.①f '(x₁x₂) = f '(x₁) f '(x₂) ；②当x∈ (0,+∞ )时，f '(x) > 0； ③f '(x) 是奇函数.

15．已知向量 a+b+c=0,∣a∣=1,∣b∣=∣c∣=2,a•b+b•c+c•a= ______．

16．已知函数f(x) = ∣e^x - 1∣，x₁ < 0，x₂ > 0，函数f(x) 的图像在点A(x₁ , f(x₁) ) 和点B(x₂ , f(x₂) )的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于M，N 两点，则∣AM∣/∣BN∣取值范围是_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）记S_n 是公差不为0 的等差数列{a_n} 的前n 项和，若a₃ = S₅，a₂a₄ = S₄ .
　　（1）求数列{a_n}的通项公式a_n ；　　（2）求使S_n > a_n 成立的 n 的最小值.

18．（12分） 在△ABC中， 角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，b = a + 1，c = a + 2.
　　（1）若2 sinC = 3 sinA ，求 △ABC 的面积 ；
　　（2）是否存在正整数α ，使得 △ABC 为钝角三角形？若存在，求出α 的值；若不存在，说明理由.

19．（12分） 在四棱锥Q - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若AD = 2，QD = QA = ，QC = 3.
　　（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；　　（2）求二面角B-QD-A 的平面角的余弦值．

20．（12分） 已知椭圆C 的方程为x²/a² + y²/b² = 1(a > b > 0) ，右焦点为F( ,0)，且离心率为/3.
　　（1）求椭圆 C 的方程；
　　（2）设M，N 是椭圆C 上两点，直线MN 与曲线 x² + y² = b² (x > 0) 相切. 证明：M，N，F 三点共线的充要条件是点|MN| = .

21．（12分） 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X = i) = p_i(i = 0,1,2,3).
　　（1）已知p₀ = 0.4，p₁ = 0.3，p₂ = 0.2，p₃ = 0.1，求E(X)；
　　（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 关于x 的方程： p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³ = x 的一个最小正实根，求证：当E(X) ≤ 1时，p = 1 . 当E(X) > 1时，p < 1;　　（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

22．（10分） 已知函数f(x) = (x - 1)e^x - ax² + b.
　（1）讨论f(x) 单调性 ； 　（2）从两个条件选一个，证明：f(x) 有一个零点.　①1/2 < a ≤ e²/2，b > 2a；　②0 < a < 1/2，b ≤ 2a.