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2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合M={x∣0 < x < 4}，N={x∣1/3≤ x ≤5}，则M ∩N =A．{x∣0 < x ≤1/3}B．{x∣1/3 ≤ x < 4}C．{x∣4 ≤ x <5}D．{x∣0 < x ≤ 5}

2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
   A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
   B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
   C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
   D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3．已知(1 - i )² z = 3 + 2i ，则z =（ ） A．-1 - 3/2i　B．-1 + 3/2i　C．-3/2 + i　D．-3/2 - i

4．视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，用五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 的满足L = 5 + lgV .已知某同学视力的五分记录法为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ） A．1.5　B．1.2　C．0.8　D．0.6

5．F₁，F₂ 为双曲线C两焦点，P 为C 上一点，∠F₁PF₂ =60°，∣PF₁∣=3∣PF₂∣，则C离心率为 A．/2　B．/2　C．　D．

6．在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

7．等比数列{a_n}的公比为q，前 n 项和为S_n，设甲：q > 0，乙：{S_n}是递增数列，则 （ ）

8．2020年12月8日，中国和尼泊尔公布珠穆朗玛峰最新高度8848.86m。如图三角高程测量法示意图，现有A，B，C 三点，且A，B，C 在同一水平面上的投影A´，B´，C´ 满足∠A´C´B´=45°，∠A´B´C´=60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB´ 与CC´ 的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A，C 两点到水平面A´B´C´的高度差AA´ - CC´ 约为A．346　B．373　C．446　D．473

9．若a ∈（0，π/2），tan 2a = cos a /(2- sin a)，则tan a=A．/15　B．/5　C．/3　D．/3

10．将4个1和2个0随机排成一行，则2 个0不相邻的概率为（ ） A．1/3　B．2/5　C．2/3　D．4/5

11．已知ABC 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC = BC = 1，则三棱锥O - ABC 的体积为（ ）

A．/12

B．/12

C．/4

D．/4

12．设函数f(x) 的定义域为R，f(x + 1) 为奇函数，f(x + 2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f(x) =ax² + b.若f(0) + f(3) =6，则f(9/2) =（ ）

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．曲线y = (2x-1)/(x+2)在点（-1，-3）处的切线方程为______．

14．已知向量a = (3,1), b = (1,0), c = a + kb，若 a ⊥ c ,则k =_____．

15．F₁F₂ 为椭圆C :x²/16 + y²/4 =1 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，∣PQ∣= ∣F₁F₂∣，则四边形PF₁QF₂ 的面积____．

16．已知函数f(x) = 2cos(ω x + φ) 的部分图像如图所示，则满足条件(f (x) - f (-7π/4)) (f (x) - f (4π/3) ) > 0的最小正整数 x _____.

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床：一级品150，二级品50，合计200。乙机床：一级品120，二级品80，合计200。一级品合计270，二级品合计130。
　（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少；（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

18．（12分）已知数列{a_n} 的各项均为正数，记 S_n 为{a_n}的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
　①数列{a_n} 是等差数列；②数列{} 是等差数列；③a₂ = 3a₁ .

19．（12分）直三棱柱ABC -A₁B₁C₁ 中，侧面AA₁B₁B 正方形，AB = BC =2，E，F分别为AC 和 CC₁ 中点，D为棱A₁B₁上点．BF ⊥ A₁B₁.（1）证明：BF ⊥ DE；　（2）B₁D 为何值时，面BB₁C₁C 与面DFE 所成二面角的正弦值最小？

20．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O .焦点在x轴上，直线l ：x=1交C于P，Q 两点，且OP⊥OQ． 已知点M(2,0)，且⊙M与 l相切.
　（1）求C,⊙M方程；（2）设A₁，A₂，A₃ 是C 上三个点，直线A₁A₂ ，A₁A₃ 与⊙M 相切. 判断直线A₂A₃ 与⊙M 位置关系，说明理由．

21．（12分）已知a > 0且a ≠1，函数f(x) = x^a/a² (x > 0)．
　　（1）当a = 2时，求f(x) 的单调区间；　　（2）若曲线y = f(x) 与直线y = 1有且仅有两个交点，求a 的取值范围．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ = 2 cos θ．
　　（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
　　（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP = AM，写出P的轨迹C₁ 的参数方程，并判断C 与C₁ 是否有公共点．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x) = ∣x - 2∣. g(x) = ∣2x + 3∣ - ∣2x - 1∣．
　　（1）画出y = f(x) 和y =g(x) 的图像； 　　（2）若f(x + a) ≥ g(x) ，求a 的取值范围．