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2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 　文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ={1,2,3,5,7,11}，B ={x∣3 < x < 15}，则A ∩B 中元素的个数为A．2　B．3　C．4　D．5

2．若z(1 + i) = 1- i,则z =　A．1-i　B．1 + i　C．-i　D．i

3．设一组样本数据x₁,x₂,…,x_n 的方差为0.01，则数据10x₁,10x₂,…,10x_n的方差为A．0.01　B．0.1　C．1　D．10

4．Logistic 模型是常用数学模型，根据数据建立某地区新冠肺炎累计确诊病历数I(t) (t的单位：天)的Logistic 模型：I(t) = K/(1+e^-0.2(t-53))，其中K 为最大确诊病例数. 当I(t^* ) = 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t^* 约为( ln19 ≈3)A．60　B．63　C．66　D．69

5．已知sin θ + sin(θ + π/3)= 1，则sin(θ + π/6)=A．1/2　B．/3　C．2/3　D．/2

6．在平面内，A,B 是两个定点，C 是动点. 若AC·BC= 1，则点C 的轨迹为A．圆　B．椭圆　C．抛物线　D．直线

7．设O 为坐标原点，直线x = 2与抛物线C: y² = 2px (p > 0)交与D,E 两点，若OD ⊥ OE,则C 的焦点坐标为

8．点(0,-1)到直线y = k(x + 1)距离的最大值为A．1　B．　C．　D．2

9．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6 + 4　B．4 + 4　C．6 + 2　D．4 + 2

10．设a = log₃2, b = log₅3, c= 2/3，则A． a < c < b　B．a < b < c　C．b < c < a　D．c < a < b

11．在△ABC 中，cos C= 2/3，AC = 4，BC = 3，则tan B = A．　B．2　C．4　D． 8

12．已知函数f(x) = sin x + 1/sin x ，则

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x,y 满足约束条件 (x+y≥0,2x-y≥0, x≤1,)则z = 3x + 2y 的最大值为_____．

14．设双曲线C： x²/a² - y²/b² = 1(a > 0, b > 0)的一条渐近线为y = x，则C 的离心率为_____．

15．设函数f(x) =e^x/(x+a) .若f＇(1) = e/4 ,则a =_____． 　15．已知圆锥底面半径1，母线长3，则圆锥内半径最大的球体积为_____．

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） 设等比数列{a_n} 满足a₁ + a₂ = 4, a₃ - a₁ = 8.
　　（1）求{a_n}的通项公式；　　（2）记S_n 为数列{log₃a_n}的前n 项和． 若S_m + S_m+1 = S_m+3，求m .

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天） ：
1（优）： [0,200]2；[200,400]16；[400,600]25。　2（良）： [0,200]5；[200,400]10；[400,600]12。
3（轻度污染）： [0,200]6；[200,400]7；[400,600]8。　4（中度污染）：[0,200]7；[200,400]2；[400,600]0。
空气质量好： 人次≤400______；人次>400______。空气质量不好： 人次≤400______；人次>400______。
　（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的2 ×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

19．（12分）如图，在长方体ABCD -A₁B₁C₁D₁ 中，点E,F 分别在棱DD₁, BB₁ 上，且2DE =ED₁，BF = 2FB₁． 证明：
　　（1）当AB = BC 时，EF ⊥ AC； 　　（2）点C₁ 在平面AEF 内．

20．（12分）已知函数f(x) = x³ - kx + k²． 　（1）讨论f(x) 的单调性；　（2）若f(x) 有三个零点，求k 的取值范围.

21．（12分）已知椭圆C：x²/25 + y²/m² = 1(0 < m < 5)的离心率为/4，A，B 分别为C 的左右顶点．
　　（1）求C 的方程；　　（2）若点P 在C上，点Q 在直线x = 6上，且∣BP∣=∣BQ∣,BP⊥BQ，求△APQ 的面积．

22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分） 直角坐标系xOy中，曲线C参数方程(x=2-t-t², y=2-3t+t²)(t为参数t≠1),C与坐标轴交A,B点．
　　（1）求∣AB∣；　　（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设a，b，c∈R，a + b + c = 0 ,abc = 1．
　　（1）证明：ab + bc + ca < 0；　　（2）用max{a,b,c}表示a,b,c 中的最大值，证明：max{a,b,c} ≥ ．