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2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ={(x,y)∣x,y∈N^*,y≥x}，B ={(x,y)∣x + y = 8}，则A ∩B 中元素的个数为=　A．2　B．3　C．4　D．6

2．复数1/(1-3i)的虚部是A．-3/10　B．-1/10　C．1/10　D．3/10

3．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p₁,p₂,p₃,p₄,且∑p_i=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是

4．Logistic 模型是常用数学模型，根据数据建立某地区新冠肺炎累计确诊病历数I(t) (t的单位：天)的Logistic 模型：I(t) = K/(1+e^-0.2(t-53))，其中K 为最大确诊病例数. 当I(t^* ) = 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t^* 约为( ln19 ≈3)A．60　B．63　C．66　D．69

5．设O 为坐标原点，直线x = 2与抛物线C: y² = 2px (p > 0)交与D,E 两点，若OD ⊥ OE,则C 的焦点坐标为

6．已知向量a,b 满足∣a∣=5，∣b∣=6, a·b = -6,则cos<a,a+b> =A．-31/35　B．-19/35　C．17/35　D．19/35

7．在△ABC 中，cos C= 2/3，AC = 4，BC = 3，则cos B = A．1/9　B．1/3　C．1/2　D．2/3

8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6 + 4　B．4 + 4　C．6 + 2　D．4 + 2

9．已知2 tan θ - tan(θ + π/4) = 7,则tan θ=A．-2　B．-1　C．1　D．2

10．若直线l 与曲线y = 和圆x² + y² = 1/5都相切，则l 的方程为

11．双曲线C:x²/a² - y²/b² = 1(a > 0, b > 0)左、右焦点分别为F₁ ,F₂ ,离心率为. P 是C 上一点，且F₁P⊥F₂P. 若△PF₁F₂ 面积4,则a =

12．已知5⁵ < 8⁴, 13⁴ < 8⁵ . 设a = log₅3, b = log₈5, c= log₁₃8，则

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x,y 满足约束条件 (x+y≥0,2x-y≥0, x≤1,)则z = 3x + 2y 的最大值为_____． 　14．(x² + 2/x)⁶展开式中常数项是____（用数字答）．

15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_____．

16．关于函数f(x) = sin x + 1/sin x 有如下四个命题，其中所有真命题的序号是_____.

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） 设数列{a_n} 满足a₁ = 3, a_n+1 = 3a_n - 4n. 　（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}通项公式并证明；（2）求数列{2ⁿ a_n}前n 项和S_n．

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天） ：
1（优）： [0,200]2；[200,400]16；[400,600]25。　2（良）： [0,200]5；[200,400]10；[400,600]12。
3（轻度污染）： [0,200]6；[200,400]7；[400,600]8。　4（中度污染）：[0,200]7；[200,400]2；[400,600]0。
空气质量好： 人次≤400______；人次>400______。空气质量不好： 人次≤400______；人次>400______。
　（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的2 ×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

19．（12分）如图，在长方体ABCD -A₁B₁C₁D₁ 中，点E,F 分别在棱DD₁, BB₁ 上，且2DE =ED₁，BF = 2FB₁．
　　（1）证明：点C₁ 在平面AEF 内； 　　（2）若AB = 2，AD = 1，AA₁ = 3，求二面角A-EF-A₁ 的正弦值．

20．（12分）已知椭圆C：x²/25 + y²/m² = 1(0 < m < 5)的离心率为/4，A，B 分别为C 的左右顶点．
　　（1）求C 的方程；　　（2）若点P 在C上，点Q 在直线x = 6上，且∣BP∣=∣BQ∣,BP⊥BQ，求△APQ 的面积．

21．（12分）设函数f(x) = x³ + bx + c ,曲线y = f(x) 在点(1/2 ,f(1/2) ) 处的切线与y 轴垂直．
　　（1）求b；　　（2）若f(x) 有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x) 所有零点的绝对值都不大于1．

22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分） 直角坐标系xOy中，曲线C参数方程(x=2-t-t², y=2-3t+t²)(t为参数t≠1),C与坐标轴交A,B点．
　　（1）求∣AB∣；　　（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设a，b，c∈R，a + b + c = 0 ,abc = 1．
　　（1）证明：ab + bc + ca < 0；　　（2）用max{a,b,c}表示a,b,c 的最大值，证明：max{a,b,c} ≥ ．