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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ={-1，0，1，2}，B ={x∣x² ≤1}，则A ∩B =　A．{-1，0，1}　B．{0，1}　C．{-1，1}　D．{0，1，2}

2．若z(1 + i)= 2i，则z =　A．-1-i　B．-1+i　C．1-i　D．1+i

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》称为中国古典小说四大名著。某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查100位学生，读过《西游记》或《红楼梦》的学生共90位，读过《红楼梦》的学生共80位，读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共60位，该校读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5　B．0.6　C．0.7　D．0.8

4．(1 + 2x²)(1 + x)⁴ 的展开式中x³ 的系数为A．12　B．16　C． 20　D． 24

5．已知各项均为正数的等比数列{a_n} 的前4项和为15，且a₅ = 3a₃ + 4a₁，则a₃ =　A．16　B．8　C．4　D．2

6．已知曲线y = ae^x + x ㏑x 在点(1,ae)处的切线方程为y = 2x + b，则

A．a = e，b = -1

B．a = e，b = 1

C．a = e-1 ，b = 1

D．a = e-1，b = -1

7．函数y=2x³/(2^x+2^-x)在[-6,6]的图像大致为

A．

B．

C．

D．

8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则

	A．BM = EN ，且直线BM，EN 是相交直线	B．BM ≠ EN ，且直线BM，EN 是相交直线
	C．BM = EN ，且直线BM，EN 是异面直线	D．BM ≠ EN ，且直线BM，EN 是异面直线

9．执行右边程序框图，输入的ε 的为0.01，在输出s 值等于A．2 - 1/ 2⁴B．2 - 1/ 2⁵C．2 - 1/ 2⁶D．2 - 1/ 2⁷

10．双曲线C: x²/4 - y²/2 = 1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若∣PO∣⊥∣PF∣,△PFO的面积为

A．3/4

B．3/2

C．2

D． 3

11．设函数f(x) 是定义域为R 偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A．f(㏒₃ 1/4) > f(2^-3/2) > f(2^-2/3)
B．f(㏒₃ 1/4) > f(2^-2/3) > f(2^-3/2) 　C． f(2^-3/2) > f(2^-2/3) > f(㏒₃ 1/4) 　D．f(2^-2/3) > f(2^-3/2) > f(㏒₃ 1/4)

12．函数f(x) = sin(ωx + π/5 )(ω>0)，已知f(x) 在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论,所有正确结论的编号是

	① f(x) 在(0,2π）有且仅有3个极大值点	② f(x) 在(0,2π）有且仅有2个极小值点
	③ f(x) 在(0,π/10）单调递增	④ ω 的取值范围是[12/5,29/10）

A．①④

B．②③

C．① ②③

D．① ③④

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a，b 为单位向量，且a·b = 0，若c = 2a - b，则cos(a,c)=_____．

14．记S_n 为等差数列{a_n}的前n 项和.若a₁≠ 0 ，a₂ = 3a₁满足a₁ + a₂= -1,a₁ - a₃= -3，则S₁₀ / S₅ =_____．

15．设F₁，F₂ 为椭圆C：x²/36 + y² /20 = 1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF₁F₂ 为等腰三角形，则M 的坐标为_____．

16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁ 挖去四棱锥O-EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E,F,G,H 分别为所在棱的中点，AB= BC= 6cm ,AA₁ = 4cm ,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm³.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_________g.

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） 为了解甲、乙离子在小鼠体内残留程度，进行试验：200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，A 组鼠服甲离子溶液，B组鼠服乙离子溶液.每只小鼠服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.一段时间后测算出残留在小鼠体内离子的百分比.据试验数据分别得到如下直方图：
　记C 为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到P(C) 的估计值为0.70.
　（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值
　（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同组中数据用该组区间的中点值为代表）．

18．（12分） △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c .已知a sin(A+C)/2= b sinA .
　（1）求B；　　（2）若△ABC 为锐角三角形，且c = 1，求△ABC 面积的取值范围．

19．（12分）图1是矩形ADEB ，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE = BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2．
　（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE ；　（2）求图2 中的二面角B-CG-A 的大小．

20．（12分）已知函数f(x) = 2x³ - ax² + b ．
　（1）讨论f(x) 单调性；（2）是否存在a，b，使f(x) 在区间[0,1]最小值为-1且最大值为1？若存在求出a，b所有值；若不存在说明理由．

21．（12分）已知曲线C：y = x²/2，D 为直线y = -1/2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．
　　（1）证明：直线AB 过定点；　　（2）若以E(0,5/2)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 如图，在极坐标系 Ox 中，A（2,0），B(, π/4)，C(,3 π/4)，D(2,π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是（1,0)，(1, π/2)，(1,π)，曲线M₁ 是弧AB，曲线M₂ 是弧BC，曲线M₃ 是弧CD．
　　（1）分别写出M₁，M₂，M₃ 的极坐标方程；　　（2）曲线M 由M₁，M₂，M₃ 构成，若点P 在M 上，且∣OP∣=，求P 的极坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设x，y，z∈R，且x + y + z = 1．
　　（1）求(x - 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² 的最小值；　　（2）若(x - 2)² + (y - 1)² + (z - a)² ≥ 1/3 成立，证明：a ≤ -3 或a ≥ -1．