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2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ={x∣x - 1 ≥ 0}，B ={0,1,2}，则A ∩B =　A．{0}　B．{1}　C．{1，2}　D．{0，1，2}

2．(1 + i)(2 - i) =　A．-3 - i　B．-3 + i　C．3 - i　D．3 + i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，咬合时带卯眼的木构件的俯视图是

4．若sin a = 1/3，则cos 2a =　A．8/9　B．7/9　C．-7/9　D．-8/9

5．(x² + 2/x)⁵ 的展开式中x⁴ 的系数为A．10　B．20　C． 40　D． 80

6．直线x + y + 2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆(x - 2)² + y² =2 上，则△ABP 面积的取值范围是

A．[2,6]

B．[4,8]

C．[,3]

D．[2,3]

7．函数y = -x⁴ + x² + 2的图像大致为

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX = 2.4，P(X = 4) < P(X = 6)，则p =　A．0.7　B．0.6　C．0.4　D．0.3

9．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c .若△ABC 的面积为(a²+b²-c²)/4，则C = A． π/2　B． π/3　C． π/4　D．π/6

10．设A，B，C，D 是同一个半径为4的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为

A．12

B．18

C．24

D．54

11．设F₁，F₂ 是双曲线C：x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F₂ 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P . 若∣PF₁∣=∣OP∣，则C 的离心率为A．　B．2　C．　D．

12．设a = ㏒_0.20.3，b = ㏒₂0.3，则A．a + b < ab < 0　B．ab < a + b < 0　C．a + b < 0 < ab 　D．ab < 0 < a + b

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量a =(1,2)，b =(2,-2)，c =(1,λ).若c ∥ (2a + b)，则λ =______．

14．曲线y = (ax + 1)e^x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a =______． 　15．函数f(x) = cos(3x + π/6) 在[0,π]的零点个数为______．

16．已知点M(-1,1) 和抛物线C：y² = 4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两点．若∠AMB =90°，则k =_____.

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） 等比数列{a_n}中，a₁ = 1,a₅ = 4a₃ .  （1）求{a_n}的通项公式；   （2）记S_n 为{a_n}的前n 项和.若S_m =63，求m．

18．（12分）为提高生产效率，提出完成某项生产任务的两种新的生产方式．比较两种生产方式的效率，选40工人随机分两组，每组20人.第一组用第一种生产方式，第二组用第二种生产方式．根据完成任务的时间（单位：min）绘制茎叶图：
  （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
  （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
第一种生产方式： 超过m____；不超过m____。第二种生产方式： 超过m____；不超过m_____。
  （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C，D 的点．
  （1）证明：平面AMD⊥平面BMC ；  （2）当三棱锥M-ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．

20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：x²/4 + y²/3 = 1交于A，B两点，线段AB 的中点为M(1,m)(m>0)．
  （1）证明:k < -1/2；  （2）F为C 右焦点，P 为C 上一点，且FP+ FA+ FB= 0． 证明：∣FA∣,∣FP∣，∣FB∣成等差数列，求数列公差．

21．（12分）已知函数f(x) =(2 + x + ax²)㏑(1 + x) - 2x ．
   （1）若a =0，证明：当-1< x <0时，f(x) < 0；当x >0时，f(x) >0；   （2）若x =0是f(x) 的极大值点，求a ．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
   平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程(x=cosθ, y=sinθ)（θ为参数）,过点(0,-)且倾斜角为a 的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
   （1）求a 的取值范围；   （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x) =∣2x + 1∣+∣x - 1∣．
   （1）画出y =f(x) 的图像；   （2）当x∈[0,+∞)时，f(x) ≤ ax + b ，求a + b 的最小值．