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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 　文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={2,4,6,8}．若A∩B 中元素的个数为A．1B．2C．3D．4

2．复平面内表示复数z = i(-2 + i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．某城市为了解游客人数变化规律，收集并整理了2014年1月至2016年12月月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制下面的折线图．下列结论错误的是
   A. 月接待游客量逐月增加   B. 年接待游客量逐年增加
   C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月  D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．已知sina - cosa = 4/3，则sin2a = A．-7/9B．-2/9C．2/9D．7/9

5．设x，y 满足约束条件(3x+2y-6≤0, x≥0, y≥0)，则z = x - y 的取值范围是 A．[-3，0]B．[-3，2]C．[0，2]D．[0，3]

6．函数f(x) = 1/5sin(x + π/3) + cos(x - π/6)的最大值为 A．5/6B．1C．3/5D．1/5

7．函数y = 1 + x + sin x/x² 的部分图像大致为

A．

B．

C．

D．

8．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A． 5B． 4C． 3D． 2

9．圆柱高1，它的两个底面圆周在直径2的同一个球的球面上，该圆柱体积为 A．πB． 3π/4C．π/2D．π/4

10．在正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁ 中，E 为棱CD 的中点，则 A．A₁E ⊥DC₁B．A₁E ⊥BDC．A₁E ⊥BC₁D．A₁E ⊥AC

11．椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A₁,A₂ ,且以线段A₁A₂ 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab =0相切，C离心率为

A．/3

B．/3

C．/3

D． 1/3

12．已知函数f(x) = x² - 2x + a(e^x-1 + e^-x+1)有唯一零点，则a =A． -1/2B．1/3C．1/2D． 1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a =（–2，3），b =（3, m），且a⊥b，则m =______.

14．双曲线 x²/ a² - y²/9 = 1（a >0）的一条渐近线方程为y = 3/5x，则a =______.

15． △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c。已知C = 60°,b =,c = 3，则A =_______.

16．设函数f(x)=(x+1,x≤0; 2^x,x>0)则满足f(x) + f(x - 1/2) ﹥1的x 的取值范围是______．

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） 设数列{α_n }满足a₁ + 3a₂ +…+(2n - 1)a₁ = 2n.  （1）求{α_n }的通项公式； （2）求数列{α_n/(2n+1)}的前n 项和.

18．（12分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表.[10,15)2天,[15,20)16天,[20,25)36天,[25,30)25天,[30,35)7天,[35,40)4天.
    以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．  （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
   （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．

19．（12分） 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD = CD．
   （1）证明：AC⊥BD；
   （2）△ACD是直角三角形，AB=BD．E为棱BD 上与D 不重合的点，AE⊥EC，求四面体ABCE 与ACDE 体积比．

20．（12分） 在直角坐标系xOy 中，曲线y = x² + mx - 2与x 轴交于A，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：
   （1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；   （2）证明过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.

21．（12分） 已知函数f(x) = lnx + ax² + (2a + 1)x（1）讨论f(x) 的单调性； （2）当a ＜0 时，证明f(x) ≤ -3/4 a - 2 ．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l₁ 的参数方程为(x=2+t, y=kt)（t 为参数），直线l₂ 的参数方程为(x=-2+m, y=m/k)（m 为参数），设l₁ 与l₂ 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
 （1）写C普通方程：  （2）坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建极坐标系，设l₃：ρ(cosθ + sinθ)-=0，M 为l₃与C交点,求M极径．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x) =∣x + 1∣-∣x - 2∣．
   （1）求不等式f(x) ≥ 1的解集；   （2）若不等式f(x) ≥ x² - x + m 的解集非空，求m 的取值范围．