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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ={(x,y)∣x² + y²= 1}，B ={(x,y)∣y = x}，则A ∩B 中元素的个数为 A． 3　B． 2　C． 1　D． 0

2．设复数z 满足(1 + i)z = 2i，则∣z ∣=　A．1/2　B．/2　C．　D． 2

3．某城市为了解游客人数变化规律，收集并整理了2014年1月至2016年12月月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制下面的折线图．下列结论错误的是
   A. 月接待游客量逐月增加   B. 年接待游客量逐年增加
   C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月  D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(x + y)(2x - y)⁵ 的展开式中x³y³ 的系数为A．-80　B．-40　C． 40　D． 80

5．已知双曲线C:x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）的一条渐近线方程为y =/2x，且与椭圆x²/12 + y²/3=1有公共焦点．则C 的方程为
A．x²/8 - y²/10 =1　B．x²/4 - y²/5 =1　C．x²/5 - y²/4 =1　D．x²/4 -y²/3 =1

6．设函数f(x) = cos(x + π/3)，则下列结论错误的是

7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A． 5B． 4C． 3D． 2

8．已知圆柱高1，它两个底面圆周在直径为2的同一个球面上，则圆柱体积为 A．πB． 3π/4C．π/2D．π/4

9．等差数列{a_n} 的首项为1，公差不为0．若a₂，a₃，a₆ 成等比数列，则{a_n} 前6项的和为 A． -24B． -3C． 3D． 8

10．椭圆C:x²/a² +y²/b²=1(a >b >0)左、右顶点分别为A₁，A₂，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx - ay + 2ab =0相切，C离心率为

A．/3

B．/3

C．/3

D．1/3

11．已知函数f(x) = x² - 2x + a(e^x-1 + e^-x+1)有唯一零点，则a =　A． -1/2　B．1/3　C．1/2　D． 1

12．矩形ABCD中，AB= 1,AD= 2 ，动点P在点C 为圆心且与BD切的圆上．AP= λAB+ μAD，则λ+ μ最大值A．3B．2C．D．2

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y 满足约束条件(x-y≥0, x+y-2≤0, y≥0)则z = 3x - 4 y 的最小值为______．

14．设等比数列{a_n} 满足a₁+ a₂ = -1，a₁ - a₃ = -3，则a₄ =_____．

15．设函数f(x)=(x+1,x≤0; 2^x,x>0)则满足f(x) + f(x - 1/2) ﹥1的x 的取值范围是______．

16．a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b 都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论,其中正确的是______（填编号） ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°．

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分） △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA +cosA = 0,a = 2,b = 2.
   （1）求c；   （2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表.[10,15)2天,[15,20)16天,[20,25)36天,[25,30)25天,[30,35)7天,[35,40)4天.
   以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。   （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
  （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 元.当六月份这种酸奶一天的进货量n 瓶为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．∠ABD = ∠BCD，AB = BD．
   （1）证明：平面ACD⊥平面ABC ；
   （2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D- AE- C 的余弦值．

20．（12分）已知抛物线C: y² = 2x，过点（2，0）的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
   （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；   （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程．

21．（12分）已知函数f(x) = x - 1- a lnx．
   （1）若f(x) ≥ 0，求a 的值；   （2）设m 为整数，且对于任意正整数n，(1 + 1/2)(1 + 1/ 2²)…(1 + 1/ 2ⁿ) ＜m，求m 的最小值．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l₁ 的参数方程为(x=2+t, y=kt)（t 为参数），直线l₂ 的参数方程为(x=-2+m, y=m/k)（m 为参数），设l₁ 与l₂ 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
 （1）写C普通方程：  （2）坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建极坐标系，设l₃：ρ(cosθ + sinθ)-=0，M 为l₃与C交点,求M极径．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x) =∣x + 1∣-∣x - 2∣．
   （1）求不等式f(x)  ≥ 1 的解集；   （2）若不等式f(x) ≥ x²- x + m 的解集非空，求m 的取值范围．