首页>高考试卷>正文

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 　文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集 U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,2}，N ={3,4} ,则 C_U(M∪N) =　A．{5}　B．{1,2}　C．{3,4}　D．{1,2,3,4}

2．设iz = 4 + 3i，则 z =　A．-3 - 4i　B．-3 + 4i　C．3 - 4i　D．3 + 4i

3．命题p: 彐x ∈ R, sin x < 1;命题q: x ∈ R,e^∣x∣≥ 1.下列命题中为真命题的是A．p ∧ q　B．￢p ∧ q　C．p ∧ ￢q　D．￢(p ∨ q)

4．设函数f(x) = sin x/3 + cos x/3 的最小正周期和最大值分别是A．3π 和　B．3π 和2　C．6π 和　D．6π 和2

5．若x,y 满足约束条件(x+y≥4, x-y≤2, y≤3,)，则z = 3x + y 的最小值为A． 18B． 10C． 6D． 4

6．cos²π/12 - cos²5π/12 =A．1/2　B．/3　C．/2　D．/2

7．在区间(0, 1/2)随机取1个数，则取到的数小于1/3 的概率为A．3/4　B．2/3　C．1/3　D．1/6

8．下列函数最小值为4的是A．y = x² + 2x + 4　B．y = ∣sinx∣ + 4 /∣sinx∣　C．y = 2^x + 2^2-x　D．y = ln x + 4/lnx

9．设函数f(x) = (1-x) / (1+x)，则下列函数中为奇函数的是A．f(x - 1) - 1　B．f(x - 1) + 1　C．f(x + 1) - 1　D．f(x + 1) + 1

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，P 为B₁D₁ 的中点，则直线PB 与AD₁ 所成角为A． π/2　B． π/3　C． π/4　D． π/6

11．设B 是椭圆C ：x²/5 + y² =1 的上顶点，点P 在C 上，则∣PB∣的最大值为A．5/2　B．　C．　D．2

12．设a ≠ 0,若x = a 为函数f(x) = a(x - a)²(x - b)的极大值点，则A．a < b　B．a > b　C．ab < a²　D．ab > a²

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a = (2,5),b = (λ,4),若a ∥ b,则λ =_____.

14．双曲线 x²/4 - y²/5 = 1的右焦点到直线 x + 2y - 8= 0的距离为_____.

15．记△ABC的内角A, B, C 的对边分别为a,b,c,面积为，B = 60°, a² + b² = 3ac,则b =_____.

16．图①为正视图，图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥三视图，则所选侧视图和俯视图编号依次为____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分） 某厂研制生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产10件产品，得到各件产品该项指标数据如下，旧设备： 9.8，10.3，10.0，10.2，9.9，9.8，10.0，10.1，10.2，9.7。新设备：10.1，10.4，10.1，10.0，10.1，10.3，10.6，10.5，10.4，10.5。旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s和s .
　（1）求x,y，s, s；　（2）判断新设备生产产品指标的均值较旧设备是否有显著提高（y - x ≥ 2，则认为新设备显著提高）. 

18．（12分） 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
　　（1）证明：平面PAM⊥平面PBD； 　　（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD 的体积.

19．（12分） 设{a_n} 是首项为1的等比数列，数列{b_n}满足b_n = na_n/3，已知a₁, 3a₂ ,9a₃ 成等差数列.
　　（1）求{a_n} 和{b_n} 的通项公式；　　（2）记S_n,T_n 分别为{a_n} 和{b_n}的前n 项和.证明：T_n < S_n/2.

20．（12分） 己知抛物线C：y² = 2px (p＞0)的焦点F 到准线的距离为2.
　　（1）求C 的方程；　　（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ = 9QF，求直线OQ 斜率的最大值.

21.（12分） 函数f(x) = x³ - x² + ax + 1.（1）讨论f(x) 单调性；　(2)求曲线y = f(x)过坐标原点的切线与曲线y = f(x)的公共点的坐标.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，⊙C的圆心为 C(2，1)，半径为1.
　（1）写出⊙C 一个参数方程；（2）过点F(4,1)作⊙C 两条切线, 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建极坐标系，求两条切线极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x) = |x - a| + |x + 3|.
　　（1）当a = 1时，求不等式f(x) ≥ 6 的解集；　　（2）若f(x) ≥ -a，求a 的取值范围．