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2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设2 (z + z) + 3 (z -z) = 4 + 6i ,则 z =　A．1 - 2i　B．1 + 2i　C．1 + i　D．1 - i

2．已知集合 S ={s∣s = 2n + 1, n ∈ Z}，T ={t∣t = 4n + 1, n ∈ Z}，则 S ∩ T =　A．∅　B．S　C．T　D．Z

3．命题p: 彐x ∈ R, sin x < 1;命题q: x ∈ R,e^∣x∣≥ 1.下列命题中为真命题的是A．p ∧ q　B．￢p ∧ q　C．p ∧ ￢q　D．￢(p ∨ q)

4．设函数f(x) = (1-x) / (1+x)，则下列函数中为奇函数的是A．f(x - 1) - 1　B．f(x - 1) + 1　C．f(x + 1) - 1　D．f(x + 1) + 1

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，P 为B₁D₁ 的中点，则直线PB 与AD₁ 所成的角为A． π/2　B． π/3　C． π/4　D． π/6

6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有A．60种　B．120种　C．240种　D．480种

7．把y =f(x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π /3 个长度单位，得到函数y = sin(x - π /4)的图像，则f(x) =A．sin(x/2 - 7π /12)　B．sin(x/2 + π /12)　C．sin(2x - 7π /12)　D．sin(2x + π /12)

8．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于7/4 的概率为A．7/9　B．23/32　C．9/32　D．2/9

9．魏晋时刘徽撰写《海岛算经》，第一题测量海岛的高。如图，点E,H,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称"表高"，EG 称"表距"，GC 和EH 都称为"表目距"，GC 与EH 的差称为"表目距的差"。海岛高AB=

10．设a ≠ 0,若x = a 为函数f(x) = a(x - a)²(x - b)的最大值点，则A．a < b　B．a > b　C．ab < a²　D．ab > a²

11．设B 是椭圆C ：x²/a² - y²/b²=1（a> b>0）的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足∣PB∣≤ 2b,则C 的离心率的取值范围是

A．[/2，1)

B．[1/2，1)

C．(0，/2]

D．(0，1/2]

12．设a =2 ln1.01 ,b = ln1.02,c = -1,则 A．a < b < c　B．b < c < a　C．b < a < c　D．c < a < b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知双曲线C : x²/m - y² = 1(m > 0)的一条渐近线为x + my = 0，则C 的焦距为_____.

14．已知向量a = (1,3),b = (3,4),若(a - λb)⊥b,则λ =______.

15．记△ABC的内角A, B, C 的对边分别为a,b,c,面积为，B = 60°, a² + c² = 3ac,则b =______.

16．图①为正视图，图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥三视图，则所选侧视图和俯视图编号依次为____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分） 某厂研制生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产10件产品，得到各件产品该项指标数据如下，旧设备： 9.8，10.3，10.0，10.2，9.9，9.8，10.0，10.1，10.2，9.7。新设备：10.1，10.4，10.1，10.0，10.1，10.3，10.6，10.5，10.4，10.5。旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s和s .
　（1）求x,y，s, s；　（2）判断新设备生产产品指标的均值较旧设备是否有显著提高（y - x ≥ 2，则认为新设备显著提高）. 

18．（12分） 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
　（1）求BC； 　　（2）求二面角A-PM-B 的正弦值.

19．（12分） 记S_n 为数列{a_n} 的前n 项和，b_n 为数列{S_n}的前n 项和，已知2/S_n + 1/b_n = 2.
　（1）证明：数列{b_n} 是等差数列；　　（2）求{a_n} 的通项公式.

20．（12分）函数f(x) = ln(a - x)，已知x = 0是函数y = x f(x) 极值点.　（1）求a；（2）设函数g(x) = (x+ f(x)) / xf(x)，证明：g(x) < 1.

21.（12分） 己知抛物线C：x² = 2py(p＞0)的焦点为F，且F 与圆M：x² + (y+4)² = 1上点的距离的最小值为4.
　（1）求p；　　(2)若点P 在M 上，PA，PB 是C 的两条切线，A，B 是切点，求△PAB 的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，⊙C的圆心为 C(2，1)，半径为1.
　（1）写出⊙C 一个参数方程；（2）过点F(4,1)作⊙C 两条切线, 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建极坐标系，求两条切线极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x) = |x - a| + |x + 3|.
　（1）当a = 1时，求不等式f(x) ≥ 6 的解集；　　（2）若f(x) ≥ -a，求a 的取值范围．