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2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U={-2,-1,0,1,2,3}，A={-1,0,1}，B={1,2}，则C_U(A∪B) =A．{-2,3}　B．{-2,2,3}　C．{-2,-1,0,3}　D．{-2,-1,0,2,3}

2．若a为第四象限角，则A．cos 2a >0　B．cos 2a <0　C．sin 2a >0　D．sin 2a <0

3．在新冠疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，志愿者报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名　B．18名　C．24名　D．32名

4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） A．3699块　B．3474块　C．3402块　D．3339块

5．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x - y - 3= 0 的距离为A．/5　B．2/5　C．3/5　D．4/5

6．数列{a_n}中，a₁ = 2，a_m+n = a_ma_n .若a_k+1 + a_k+2 + … + a_k+10 = 2¹⁵ - 2⁵ ，则k =A．2　B．3　C．4　D．5

7．右图是多面体的三视图，某条棱的一个端点在正视图中对应点M，在俯视图中对应点N，则该端点在俯视图中对应点为

8．O原点，直线x=a与双曲线C:x²/a² - y²/b²=1(a >0, b >0)两渐近线分别交D,E两点.△ODE面积8，C焦距最小值A．4B．8C．16D．32

9．设函数f(x) = ln∣2x + 1∣ - ln∣2x - 1∣，则f(x) A．是偶函数，且在(1/2,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(-1/2,1/2)单调递减 C．是偶函数，且在(-∞,-1/2)单调递增D．是奇函数，且在(-∞,-1/2)单调递减

10．已知△ABC是面积为 9/4 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上. 若球O的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为

A．

B．3/2

C．1

D．/2

11．若2^x - 2^y < 3^-x - 3^-y ，则A．ln(y - x + 1) > 0B．ln(y - x + 1) < 0C．ln∣x - y∣> 0D．ln∣x - y∣< 0

12．0-1周期序列在通信中有重要应用，若序列a₁a₂…a_n… 满足a_i ∈(0，1)(i = 1,2,…)，且存在正整数m，使a_i+m =a_i (i = 1,2,…)成立，称为0-1周期序列，并称满足a_i+m =a_i (i = 1,2,…)的最小正整数m为序列周期. 周期m 的0-1序列a₁a₂…a_n…，C(k) =1/m ∑a_ia_i+k (k = 1,2,…,m-1)是描述其性质重要指标. 下列周期5的0-1的序列中，满足C(k) ≤ 1/5(k = 1,2,3,4)序列是A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka - b 与 a 垂直，则k =____.

14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_____种.

15．设复数z₁，z₂ 满足 ∣z₁∣= ∣z₂∣= 2，z₁ + z₂ = + i，则∣z₁ - z₂∣=______.

16．设有下列四个命题,则下述命题中所有真命题的序号是______.

	p1 ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.	p2 ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
	p3 ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.	p4 ：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥ l.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分） △ABC中，sin²A - sin²B - sin²C =sinB sinC .　（1）求A；　　（2）若BC = 3，求△ABC周长的最大值. 

18．（12分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x_i,y_i) (i = 1,2,…,20)，其中x_i 和 y_i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x_i=60,∑y_i=1200,∑(x_i-x)=80,∑(y_i-y)=9000,∑(x_i-x)(y_i-y)=800.
　（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
　（2）求样本(x_i,y_i) (i = 1,2,…,20)的相关系数（精确到0.01）;
　（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.　

19．（12分） 已知椭圆C₁ ： x²/a² + y²/b²=1（a> b>0）的右焦点F 与抛物线C₂ 的焦点重合，C₁ 的中心与C₂ 的顶点重合. 过F 且与x 轴垂直的直线交C₁ 于A，B 两点，交C₂ 于C，D 两点，且∣CD∣= 4/3∣AB∣ .
　（1）求C₁ 的离心率；　　（2）设M 是C₁ 与 C₂ 的公共点． 若∣MF∣= 5 ，求C₁ 与C₂ 的标准方程.

20．（12分） 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C 是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁ 的中点，P 为AM上一点. 过B₁C₁ 和P 的平面交AB 于E，交AC 于F .
　（1）证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥平面EB₁C₁F ；
　（2）设O 为△A₁B₁C₁ 的中心. 若AO ∥平面EB₁C₁F ，且AO = AB，求直线B₁E 与平面A₁AMN 所成角的正弦值.

21.（12分） 已知函数f(x) = sin²x sin2x.
　（1）讨论f(x) 在区间(0,π)的单调性；　(2)证明:∣f(x) ∣≤ 3/8；　(3) 设n ∈ N^* ,证明:sin²x sin²2x sin²4x … sin²2ⁿx ≤ 3ⁿ / 4ⁿ.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
 已知曲线C₁，C₂ 的参数方程分别为C₁:(x=4 cos²θ, y=4 sin²θ)(θ 参数),C₂:(x= t+ 1/t, y= t- 1/t)(t 参数).
　（1）将C₁，C₂ 的参数方程化为普通方程；
　（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C₁，C₂ 的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x) = |x - a² | + |x - 2a + 1|.
　（1）当a = 2时，求不等式f(x) ≥ 4的解集；　　（2）若f(x) ≥ 4，求a 的取值范围．