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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A ={x|x² -5x + 6 >0}，B ={x| x -1< 0}，则A∩B =　A．(-∞，1)　B．(-2，1)　C．(-3，-1)　D．(3，+∞)

2．设z =-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于A．第一象限　B．第二象限　C．第三象限　D．第四象限

3．已知向量AB =（2,3），AB=（3,t），|BC| =1，则AB·BC=　A．-3　B．-2　C．2　D．3

4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决
的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L₂ 点的轨迹运行，L₂ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M₁ ，月球质量为M₂ ，地月距离为R ，L₂ 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M₁ /(R+r)² +M₂ / r² = (R + r)M₁ /R³.设a = r /R .a 值很小，近似计算中=3a³，则r 的近似值为

A．

B．

C．

D．

5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数　B．平均数　C．方差　D．极差

6．若a >b，则　A．㏑(a - b)>0　B．3^a < 3^b　C．a³ - b³ >0　D．|a | >| b|

7．设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是

8．若抛物线y² = 2px (p > 0)的焦点是椭圆(3a³ +3a⁴ +a⁵) / (1+a)²= 3a³的一个焦点，则p =　A．2　B．3　C．4　D．8

9．下列函数中，以 π/2 为周期且在区间(π/4，π/2)单调递增的是

10．已知a ∈(0，π/2)，2sin2a = cos2a + 1，则sin a =A．1/5B．/5C．/3D．2/5

11．设F为双曲线C： x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x² + y² = a² 交于P ，Q 两点，若∣PQ∣=∣OF∣，则C 的离心率为A．B．C．2D．

12．设函数f(x) 的定义域为R ，满足f(x + 1)=2f(x) ，且当x∈(0,1]时，f(x) =x(x - 1).若对任意x∈(-∞,m)，都有f(x) ≥-8/9，则m 的取值范围是A．(-∞，9/4]B．(-∞，7/3]C．(-∞，5/2]D．(-∞，8/3]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个
 车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.

14．已知f(x) 是奇函数，且当x < 0时，f(x) = -e^ax .若f(㏑2) = 8，则a =_______.

15．△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b = 6，a = 2c，B = π/3，则△ABC 的面积为_______.

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有___个面，其棱长为___.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分） 如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面ABCD是正方体，点E在棱AA₁ 上，BE⊥EC₁ .
　　（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁ ；　　（2）若AE=A₁E，求二面角B-EC-C₁ 的正弦值. 

18．（12分） 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.　（1）求P(X = 2)；　　（2）求事件"X =4且甲获胜"的概率．

19．（12分） 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁ = 1 ，b₁ = 0 ，4a_n+1 = 3a_n - b_n + 4，4b_n+1 = 3b_n - a_n - 4 .
　　（1）证明：{a_n + b_n}是等比数列，{a_n - b_n}是等差数列；　　（2）求{a_n}和{b_n}的通项公式．

20．（12分） 已知函数f(x) = ㏑x - (x+1)/(x-1).
　　（1）讨论f(x) 的单调性，并证明f(x) 有且仅有两个零点；
　　（2）设x₀ 是f(x) 的一个零点，证明曲线y = ㏑x 在点A(x₀ ，㏑x₀ )处的切线也是曲线y = e^x 的切线.

21.（12分） 已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为- 1/2.记M 的轨迹为曲线C .
　　（1）求C的方程，并说明C 是什么曲线；
　　（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限， PE⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .
　　(ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形；　　(ⅱ)求△PQG 面积的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
 在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ₀，θ₀)(ρ₀ > 0)在曲线C：ρ= 4sinθ 上，直线l 过点A(4,0) 且与OM垂直，垂足为P.
　　（1）当θ₀ = π/3 时，求ρ₀ 及l 的极坐标方程；　　（2）当M 在C上运动且P 在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知f(x) = |x -a|x + |x - 2|(x - a) .
　　（1）当a = 1时，求不等式f(x) < 0的解集；　　（2）若x∈ (-∞，1)时，f(x) < 0，求a的取值范围．