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2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. (1+2i) / (1-2i)=（   ） A． -4/5 - 3/5i　B． -4/5 + 3/5i　C． -3/5 - 4/5i　D．-3/5 + 4/5i

2. 设集合A ={(x，y)|x² + y² ≤ 3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为A．9　B．8　C．5　D．4

3. 函数f (x) = (e^x - e^-x) / x² 的图像大致为

4．向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·(2a- b) =　A．4　B．3　C．2　D．0

5. 双曲线x²/a² - y²/b²=1（a>0, b>0）的离心率为，则其渐进线方程为

A．y = ±x

B．y = ±x

C．y = ±/2 x

D．y = ±/2x

6. 在△ABC中，cos C/2 =/5，BC=1，AC =5，则AB =　A．4　B．　C．　D．2

7. 为计算S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +…+ 1/99 - 1/100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

9. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=BC=1，AA₁ = 则异面直线AD₁ 与DB₁ 所成角的余弦值为

A．1/5

B．/6

C．/5

D．/2

10. 若f(x) =cos x- sin x在[-a，a]是减函数，则a 的最大值是　A．π/4　B．π/2　C．3π/4　D．π

11. 已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x) =f(1+x)。若f(1) =2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= A．-50B．0C．2D．50

12. 已知F₁，F₂是椭圆C：x²/a² + y²/b²=1（a>0,b>0）的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为/6的直线上，△PF₁F₂ 为等腰三角形，∠F₁F₂P =120°，则C 的离心率为　A．2/3　B．1/2　C．1/3　D．1/4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线y = 2 ln(x+ 1)在点(0，0)处切线方程为___． 　14．若x，y满足约束条件(x+2y-5≥0, x-2y+3≥0, x-5≤0)，则z=x +y 最大值为__．

15．已知sinα + cosβ =1，cosα + sinβ =0，则sin(α + β)=_____．

16．已知圆锥的顶点为S ,母线SA,SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为_____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分） 记S_n 为等差数列{a_n}的前n 项和，已知a₁ = -7，S₃ = -15.
   （1）求{a_n}的通项公式；   （2）求S_n，并求S_n 的最小值．

18．（12分） 下图是某地区2000至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图.
    为预测该地区2018年环境基础设施投资额，建立y 与时间变量t 的两个线性回归模型。根据2000至2016年数据(时间变量t 值依次为1，2，…，17)建立模型①：y= -30.4 + 13.5t；根据2010至2016年数据(时间变量t值依次为1，2，…，7)建立模型②：y= 99 + 17.5t.
   （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
   （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

19．（12分） 设抛物线C：y² = 4x 的焦点为F，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C交于A，B两点，| AB| = 8.
   （1）求l 的方程；   （2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程.

20．（12分） 如图，在三棱锥P -ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4， O为AC的中点.
  （1）证明：PO⊥平面ABC；  （2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值. 

21．（12分）函数f(x) = e^x - ax².   （1）若a=1，证明：当x ≥ 0时，f(x)≥1；   （2）若f(x) 在(0，+∞)只一个零点，求a.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
   直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(x=2 cosθ, y=4 sinθ)(θ 参数)，直线l 的参数方程为(x=1+ t cosα, y=2+t sinα)，(t 参数)．
   （1）求C和l 的直角坐标方程；   （2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数f(x) = 5 - | x+a| - |x - 2|.
   （1）当a = 1时，求不等式f(x) ≥ 0的解集；   （2）若f(x) ≤ 1时，求a的取值范围．