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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. (3+i) / (1+i)=　A． 1+2i　B． 1-2i　C． 2+i　D． 2-i

2. 设集合A={1,2,4}，B={x∣x²- 4x + m =0}．若A∩B={1}，则B =　A．{1,-3}　B．{1,0}　C．{1,3}　D．{1,5}

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏　B．3盏　C．5盏　D．5盏

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱一部分后所得，则该几何体的体积为

5. 设x，y 满足约束条件(2x+3y-3≤0, 2x-3y+3≥0, y+3≥0)，则z = 2x + y的最小值是　A．-15　B．-9　C．1　D．9

6. 3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，
   给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

8. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S = A．2　B．3　C．4　D．5

9. 若双曲线C:x²/a² - y²/b²=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x- 2)² + y² =4所截得的弦长为2，则C的离心率为

A．2

B．

C．

D．2/3

10. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC₁ =1,则异面直线AB₁与BC₁ 所成角的余弦值为

A．/2

B． /5

C．/5

D．/3

11. 若x =-2 是函数f(x) = (x² + ax -1)e^x-1 的极值点，则f(x) 的极小值为　A．-1　B．-2e^-3　C．5e^-3　D．1

12. △ABC是边长2的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则PA·(PB + PC)最小值是A．-2B．-3/2C．-4/3D．-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX=_____．

14．函数f(x) = sin²x +cosx - 3/4  (x ∈[0,π/2]) 最大值是___．　15．等差数列a{_n}前n项和为S_n，a₃ = 3，S₄ =10，则∑1/S_k=___．

16．已知F是抛物线C: y² = 8x 的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N．若M 为FN的中点，则∣FN∣=_____．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A + C ) = 8sin²b/2.
   （1）求cosB；    （2）若a+c= 6， △ABC的面积为2，求b．

18．（12分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
 （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A 的概率；
 （2）填写下表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
旧养殖法： 箱产量＜50kg ____；箱产量≥50kg____ 。
新养殖法： 箱产量＜50kg____ ；箱产量≥50kg____ 。
   （3）据箱产量频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

19．（12分） 如图，四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=1/2AD, ∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
   （1）证明：直线CE // 平面PAB；
   （2）点M 在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45° ，求二面角M -AB-D 的余弦值.

20．（12分）设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x²/2 +y² =1上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP=NM.
 （1）求点P的轨迹方程; （2）设点Q 在直线x = -3上，且  OP·PQ =1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F . 

21．（12分） 函数f(x) = ax² - ax - xlnx，且f(x) ≥ 0。   （1）求a；   （2）证明：f(x) 存在唯一的极大值点x₀ ，且e^-2＜  f(x₀) ＜ 2^-2.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
    在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρcosθ =4．
   （1）M 为曲线C₁ 上的动点，点P 在线段OM上，且满足∣OM∣·∣OP∣=16,求点P 的轨迹C₂ 的直角坐标方程；
   （2）设点A 的极坐标为(2, π/3)，点B 在曲线C₂ 上，求△OAB面积的最大值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a ﹥0,b ﹥0,a³ +b³ = 2，证明：   （1）(a +b)(a⁵ +b⁵) ≥ 4；   （2）a +b≤ 2．