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2020年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷I） 　文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A = {x∣x² - 3x - 4 < 0}，B = {-4，1，3，5}，则 A∩B =　A．{-4,1}　B．{1,5}　C．{3,5}　D．{1,3}

2．若z = 1 + 2i + i³ ，则 |z| =　A．0　B．1　C．　D．2

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧边三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A．(- 1) /4B．(- 1) /2C．(+ 1) /4D．(+ 1) /4

4．设O 为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A．1/5　B．2/5　C．1/2　D．4/5

5．为研究某作物种子发芽率y 和温度x °C的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y_i)(i = 1,2,…,20)得到下面散点图,由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

6．已知圆 x² + y² - 6x = 0，过点(1 ,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A．1B．2C． 3D．4

7．函数 f(x) = cos(ωx + π/6 )在[-π,π]图像如下图，则f(x) 的最小正周期为A．10π/9B．7π/6C．4π/3D．3π/2

8．设a log₃4 = 2，则4^-a =　A．1/16　B．1/9　C．1/8　D．1/6

9．执行右面的程序框图，则输出的 n =　A．17　B．19　C．21　D．23

10．设{a_n}是等比数列，且a₁ + a₂ + a₃ = 1，a₂ + a₃ + a₄ = 2，a₆ + a₇ + a₈ =　A． 12　B． 24　C．30　D．32

11．设F₁ ，F₂是双曲线C： x² - y²/3 = 1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP| = 2，则△PF₁F₂ 的面积为

12．A，B，C 为球O球面上三个点，⊙O₁ 为△ABC 外接圆.若⊙O₁ 面积为4π，AB = BC = AC = OO₁ ，球O 表面积为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若x , y 满足约束条件(2x+y-2≤0，x-y-1≥0, y+1≥0,)则z = x + 7y 的最大值为_____.

14．设向量a = (1,1)，b =(m + 1，2m- 4)，若a⊥b，则m =______.

15．曲线y=lnx + x +1的切线斜率2，该切线方程为_____．　16．数列{a_n}满足a_n+2 +(-1)ⁿa_n =3n - 1，前16项和540， 则a₁ =_____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分）某厂加工出来的产品（单位：件）按标准分A，B，C，D四个等级. 加工业务约定：A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费25元/件，乙分厂加工成本费20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工100件这种产品，并统计产品的等级，整理如下：

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率 ；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

18．（12分） △ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知B = 150° .
　　（1）若a =c，b = 2，求△ABC 的面积 ；　　（2）若sin A + sin C = /2，求C.

19．（12分） 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P为DO 上一点，∠APC = 90°.
　　（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC； 　　（2）设DO = ，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P - ABC 的体积．

20．（12分） 已知函数 f(x) = e^x - a(x + 2).　（1）当a = 1时，讨论 f(x)的单调性；　（2）若f(x) 有两个零点，求a 的取值范围．

21．（12分） 已知A，B分别为椭圆E ：x²/a² + y² = 1(a > 1) 的左、右顶点，G为E的上顶点，AG•GB=8. P为直线x = 6上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D.　（1）求E 的方程；　（2）证明：直线CD 过定点.

（二）选考题：共10分。在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C₁ 的参数方程为(x = cos ^kt, y= sin ^kt)(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₂ 的极坐标方程为4ρ cosθ - 16ρ sinθ + 3 =0.
　　（1）当k = 1时，C₁ 是什么曲线？　　（2）当k = 4时，求C₁ 与C₂ 的公共点的直角坐标.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 函数 f(x) =|3x + 1| - 2|x - 1|.　（1）画出y = f(x) 图像 ； 　（2）求不等式 f(x) > f(x + 1) 解集.