首页>高考试卷>正文

2020年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷I） 　理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若z = 1 + i，则 |z² - 2z| =　A．0　B．1　C．　D．2

2．设集合A = {x∣x² - 4 ≤ 0}，B = {x∣2x + a ≤ 0}，且 A∩B ={x∣-2 ≤ x ≤ 1 }，则a =　A．-4　B．-2　C．2　D．4

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧边三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A．(- 1) /4B．(- 1) /2C．(+ 1) /4D．(+ 1) /4

4．已知A 为抛物线C ：y² = 2px (p > 0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =　A．2　B．3　C．6　D．9

5．为研究某作物种子发芽率y 和温度x °C的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y_i)(i = 1,2,…,20)得到下面散点图,由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

6．函数 f(x) = x⁴ - 2x³ 的图像在点(1 ,f(1) )处的切线方程为A．y = -2x - 1B．y = -2x + 1C．y = 2x - 3D．y = 2x + 1

7．设函数 f(x) = cos(ωx + π/6 )在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x) 的最小正周期为A．10π/9B．7π/6C．4π/3D．3π/2

8．(x + y²/x)(x + y)⁵ 的展开式中x³y³ 的系数为　A．5　B．10　C．15　D．20

9．已知a∈(0,π)，且3cos 2a - 8cos a = 5，则sin a =　A．/3　B．2/3　C．1/3　D．/9

10．已知A，B，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O₁ 为△ABC 的外接圆.若⊙O₁ 的面积为4π，AB = BC = AC = OO₁ ，则球O 的表面积为

11．已知⊙M: x² + y² - 2x -2y - 2 = 0，直线l : 2x + y + 2 = 0，P为l 上的动点.过点P作⊙M 的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为A．2x - y - 1 = 0　B．2x + y - 1 = 0　C．2x - y + 1 = 0　D．2x + y + 1 = 0

12．若2° + log₂a = 4^b + 2log₄b ，则 A．a > 2b　B．a < 2b　C．a > b²　D．a < b²

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若x , y 满足约束条件(2x+y-2≤0，x-y-1≥0, y+1≥0,)则z = x + 7y 的最大值为_____.

14．设a, b 为单位向量，且|a + b| = 1，则|a - b| =_____.

15．已知F 为双曲线C：x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0） 的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为_____．

16．如图，在三棱锥P - ABC 的平面展开图中，AC = 1，AB = AD = , AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ,∠CAE = 30° , 则cos ∠FCB =_____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分）设{a_n}是公比不为1的等比数列，a₁ 为a₂，a₃ 的等差中项 .　（1）求{a_n}公比 ； 　（2）若a₁ = 1，求数列{na_n}前n 项和.

18．（12分） 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，PO =/6 DO. 　（1）证明：PA ⊥平面PBC ； 　（2）求二面角B - PC- E 的余弦值.

19．（12分） 甲、乙、丙三位同学羽毛球比赛，赛制如下： 累计负两场被淘汰 ；赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人获胜 ，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率1/2.
　　（1）求甲连胜四场的概率； 　　（2）求需要进行第五场比赛的概率 ． 　　（3）求丙最终获胜的概率 ．

20．（12分） 已知A，B分别为椭圆E ：x²/a² + y² = 1(a > 1) 的左、右顶点，G为E的上顶点，AG•GB=8. P为直线x = 6上的动点，PA 与E 的另一点交为C，PB 与E 的另一交点为D.　　（1）求E 的方程； 　　（2）证明：直线CD 过定点.

21．（12分） 函数 f(x) = e^x + ax² - x.　（1）当a = 1时，讨论 f(x)单调性； 　（2）当x ≥ 0时，f(x) ≥ 1/2 x³ + 1，求a 的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C₁ 的参数方程为(x = cos ^kt, y= sin ^kt)(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₂ 的极坐标方程为4ρ cosθ - 16ρ sinθ + 3 =0.
　　（1）当k = 1时，C₁ 是什么曲线？ 　　（2）当k = 4时，求C₁ 与C₂ 的公共点的直角坐标.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 函数 f(x) =|3x + 1| - 2|x - 1|.　（1）画出y = f(x) 图像 ； 　（2）求不等式 f(x) > f(x + 1) 解集.