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2019年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷I） 　文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设z = (3-i)/ (1+2i)，则 ∣z∣ =　A．2　B．　C．　D．1

2．已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}，A ={2,3,4,5}，B ={2,3,6,7}，则 B∩C_UA =　A．{1,6}　B．{1,7}　C．{6,7}　D．{1,6,7}

3．已知a = ㏒₂0.2，b =2^0.2，c =0.2^0.3，则　A．a < b < c　B．a < c < b　C．c < a < b　D．b < c < a

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(-1)/2 ≈ 0.618)，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是(-1)/2.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是

5．函数 f(x) = (sin x +x) / (cos x +x²)在(-π,π)的图像大致为

6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是　A．8号学生　B．200号学生　C．616号学生　D．815号学生

7．tan 255° =　A．-2 - 　B．-2 + 　C．2 - 　D．2 +

8．已知非零向量a ，b 满足∣a∣=2∣b∣，且(a - b)⊥b，则a 与b 的夹角为　A．π/6　B．π/3　C．2π/3　D．5π/6

9．右图是求1 / （2 +(1 / (2 + 1/2)))的程序框图，图中空白框中应填入

10．双曲线C ：x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 离心率为

11．△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c.知a sinA -b sinB =4c sinC ,cosA=-1/4，则b/c =A．6B．5C．4D．3

12．椭圆C焦点F₁ (-1,0)，F₂ (1,0)，过F₂直线与C 交于A,B 两点.若∣AF₂∣= 2∣F₂B∣,∣AB∣=∣BF₁∣,则C方程为
A．x²/2 + y² =1 B．x²/3 + y²/2=1C．x²/4 + y²/3 =1D．x²/5 + y²/4 =1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线 y = 3(x² + x)e^x 在点(0,0)处的切线方程为______.　14．记S_n 为等比数列{a_n}的前n 项和．若a₁ =1，S₃ = 3/4，则S₄ =______.

15．函数f(x) =sin(2x + 3π/2) - 3cos x 的最小值为______．

16．已知∠ACB =90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为_____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17～21题为必做题.第22、23题为选考题.
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表.男顾客:满意40,不满意10. 女顾客:满意30,不满意20.
   （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；   （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场的评价有差异？

18．S_n 为等差数列{a_n}前n 项和．已知S₉ = -a₅ .  （1）若a₃ = 4，求{a_n}通项公式；   （2）若a₁ > 0，求使得S_n ≥ a_n 的n 取值范围.

19．（12分） 如图，直四棱柱ABCD -A₁B₁C₁D₁ 的底面是菱形，AA₁ =4，AB =2，∠BAD =60°，E，M，N 分别是BC，BB₁，A₁D 的中点.
   （1）证明：MN ∥平面C₁DE ；    （2）求点C 到平面C₁DE 的距离.

20．（12分） 已知函数f(x) = 2sin x - x cos x - x ，f´(x) 为f(x) 的导数.
   （1）证明：f´(x) 在区间(0,π)存在唯一零点；   （2）若x ∈[0,π]时，f(x) ≥ ax，求a 的取值范围.

21．（12分） 已知点A，B 关于坐标原点O 对称，∣AB∣=4，⊙M 过点A，B 且与直线x + 2 =0 相切.
  （1）若A 在直线x + y =0上，求⊙M半径；  （2）是否存在定点P ，使A运动时，∣MA∣=∣MP∣为定值？说明理由．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(x= (1-t²)/(1+t²), y=4t / (1+t²))(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρ cosθ + ρsinθ + 11 =0.
   （1）求C 和l 的直角坐标方程；   （2）求C 上的点到l 距离的最小值.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a，b，c 为正数，且满足abc = 1 .证明：
   （1）1/a + 1/b + 1/c ≤ a² + b² + c² ；   （2）(a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ ≥ 24.