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2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 　数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A = {x∣ x ≥ 1}，B = {x∣-1 < x < 2}，则 A∩B =A．{x∣ x > -1}B．{x∣ x ≥ 1}C．{x∣-1 < x <1}D．{x∣1 ≤ x < 2}

2．已知a ∈ R, (1 + ai )i = 3 + i ，( i 为虚数单位)，则a =　A．-1　B．1　C．-3　D．3

3．已知非零向量a,b,c, 则"a·c = b·c" 是 "a = b" 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积　A．3/2　B．3　C．3/2　D．3

5．实数x，y 满足约束条件 (x+1≥0, x-y≤0, 2x+3y-1≤0,)则z = x - 1/2 y 最小值是A．-2　B．-3/2　C．-1/2　D．1/10

6．如图已知正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁，M，N 分别是A₁D，D₁B 的中点，则

7．已知函数 f(x) = x² + 1/4， g(x) = sin x ，则图像为如图的函数可能是

8．α,β,γ 是互不相同的锐角，在sinα cosβ，sinβ cosγ，sinγ cosα 三个值中，大于1/2 的个数的最大值是　A．0　B．1　C．2　D．3

9．已知a，b∈R，ab > 0, 函数 f(x) = ax² + b (x∈R) . 若 f (s - t) ，f (s) ，f (s + t) 成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是

10．已知数列{a_n} 满足a₁ = 1，a_n+1 = ( n ∈N^* ),记数列{a_n} 的前 n 项和为S_n，则

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S₁，小正方形的面积为S₂，则S₂/S₁ =_____.

12．已知a∈R， 函数 f(x) = (x² -4, x>2; ∣x-3∣+a, x≤2,)若 f [ f () ] = 3，则a =_____.

13．已知多项式(x - 1)³ + (x + 1)⁴ = x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄，则a₁ =_____，a₂ + a₃ + a₄ =_____.

14．在△ABC中，∠B = 60°，AB = 2，M 是BC 中点，AM = 2，则AC = _____，cos∠MAC =_____.

15．袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球. 现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为1/6，一红一黄的概率为1/3，则m - n =_____,E(ξ ) =_____.

16．已知椭圆 x²/a² + y²/b²=1（a > b > 0） ，焦点F₁(-c,0)，F₂(c,0)(c > 0)，若过F₁ 的直线和圆(x - 1/2 c)² + y² = c² 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF₂ ⊥x 轴，则该直线的斜率是_____,椭圆的离心率是_____.

17．已知平面单位向量a,b,c (c ≠ 0)满足|a| = 1,|b| = 2,a·b = 0,(a - b)·c = 0. 记向量d 在a,b 方向上的投影分别为x,y,d - a 在c 方向上的投影为z，则x² + y² + z² 的最小值_____.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）设函数f(x) = sin x + cos x (x∈R).
　（Ⅰ）求函数y = [f (x + π/2)]² 的最小正周期；　　（Ⅱ）求函数y = f(x) f(x - π/4) 在[0,π/2]上的最大值.

19．（15分）如图，四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC = 120°，AB = 1，BC = 4，PA = ，M，N分别为BC，PC中点，PD⊥DC，PM⊥MD .　（Ⅰ）证明：AB ⊥PM ；　（Ⅱ）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.

20．（本题满分15分）已知数列{a_n} 的前n 项和为S_n，a₁ = -9/4, 且 4S_n+1 = 3S_n - 9.
　(Ⅰ)求数列{a_n}的通项；（Ⅱ）数列{b_n}满足3b_n + (n - 4)a_n=0，记{b_n} 的前n 项和为T_n，若T_n≤ λ b_n对任意n ∈N^*恒成立，求λ范围.

21．（本题满分15分）如图，已知F 是抛物线 y² = 2px(p > 0) 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且∣MF∣= 2.
　（Ⅰ）求抛物线的方程；　　（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A，B 两点，斜率为2 的直线l 与直线MA，MB，AB，x 轴依次交于点P，Q，R，N，且|RN|² = |PN| · |QN|，求直线l 在x 轴上截距的范围.

22．（本题满分15分）设a,b 为实数，且a > 1，函数f(x) = a^x - bx + e²(x∈R).
　（Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间；　（Ⅱ）若对任意b > 2e²，函数 f(x) 有两个不同的零点， 求a 的取值范围：
　（3）当a=e 时，证明：对任意b> e⁴，函数f(x) 有两个不同的零点x₁，x₂，满足x₂> (((b㏑b / 2e²) x₁) + e²/b).