首页>高考试卷>正文

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 　数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合P = {x∣1 < x < 4}，Q = {x∣2 < x < 3}，则 P∩Q =A．{x∣1 < x ≤ 2}B．{x∣2 < x < 3}C．{x∣3 ≤ x < 4}D．{x∣1 < x < 4}

2．已知a ∈ R, 若a - 1 + (a - 2)i ( i 为虚数单位)是实数，则a =　A．1　B．-1　C．2　D．-2

3．若实数x，y 满足约束条件 (x-3y+1≤0, x+y-3≥0,)则z = x + 2y 的取值范围是A．(-∞,4]　B．[4,+∞)　C．[5,+∞)　D．(-∞,+∞)

4．函数y = x cos x + sin x 在区间[-π,π]上的图像可能是

5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是　A．7/3　B．14/3　 C．3　D．6

6．已知空间中不过同一点的三条直线l ,m ,n ，"l ,m ,n 共面"是"l ,m ,n 两两相交"的

7．已知等差数列{a_n}的前 n 项和为S_n，公差d ≠0,且a₁/d ≤1 . 记b₁ = S₂ ,b_n+1 = S_2n+2 - S_2n ,n ∈N^* ,下列等式不可能成立的是

A．2a4 = a2 + a6

B．2b4= b2 + b6

C．a= a2 a8

D．b = b2b8

8．点O(0，0),A(-2，0),B(2，0). 点P满足| PA | + | PB |=2,P 为函数y = 3图像上点，则| OP |=A．/2B．4/5C．D．

9．设a，b∈R，且ab ≠ 0,对于任意x ≥0均有(x -a)(x - b)(x - 2a - b) ≥ 0,则　A．a < 0　B．a > 0　C．b < 0　D．b > 0

10．设集合S,T, S N^*,T N^*,S,T 中至少有2个元素，且S,T 满足：①对于任意的x,y ∈S,若x ≠ y,则 xy ∈T; ②对于任意的x,y ∈T,若x < y, 则 y/x ∈S. 下列命题正确的是
A．S 有4元素，则S∪T有7元素 B．若S 有4元素，则S∪T有6元素C．若S 有3有元素，则S∪T5个元素D．若S 有3元素，则S∪T有4元素

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．我国古代数学家杨辉研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{n(n + 1)/2}是二阶等差数列. 数列{n(n + 1)/2}(n ∈N^*)的前3项和是____.

12．二项展开式(1 + 2x)⁵ = a₀ + a₁x + a₂x² +a₃x³ + a₄x⁴ +a₅x⁵，则a₄ = ______，a₁ + a₃ + a₅ =_____.

13．已知tan θ = 2,则cos 2θ =______，tan(θ - π/4)=_______.

14．已知圆锥的侧面积（单位：cm²)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm)是_______.

15．已知直线y = kx + b (k>0) 与圆x² + y² = 1 和圆(x - 4)² + y² = 1 均相切，则k =________,b =________.

16．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球. 从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止. 设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ = 0)=_____,E(ξ )=_____.

17．已知平面单位向量e₁,e₂ 满足|2e₁ - e₂| ≤ . 设a = e₁ + e₂ , b = 3e₁ + e₂,向量a,b 的夹角为θ,则cos²θ 的最小值是______.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知2b sinA - a =0.
　（Ⅰ）求角B 的大小； 　　（Ⅱ）求cos A + cosB + cosC 的取值范围.

19．（本题满分15分）如图，在三棱台ABC - DEF 中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB = ∠ACD = 45°，DC = 2BC .
　（Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；　　（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.

20．（本题满分15分）已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n} 满足a₁ = b₁ = c₁ =1, c_n = a_n+1 - a_n , c_n+1 =c_n b_n/b_n+2 ,n∈N^* .
　（Ⅰ）若{b_n}为等比数列，公比q > 0,且b₁ + b₂ = 6b₃,求q 的值及数列{a_n} 的通项公式；
　（Ⅱ）若{b_n}为等差数列，公差d > 0，证明：c₁ + c₂ + c₃ + …+ c_n < 1 + 1/d，n ∈N^*.

21．（本题满分15分）如图，已知椭圆C₁ : x²/2 + y² = 1，抛物线C₂ :y² = 2px(p > 0) ，点A 是椭圆C₁ 与抛物线C₂ 的交点，过点A 的直线l 交椭圆C₁ 于点B，交抛物线C₂ 于点M （B,M不同于A）.
　（Ⅰ）若p = 1/16 ，求抛物线C₂ 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.

22．（本题满分15分）已知1 < a ≤ 2，函数f(x) = e^x - x - a,其中e = 2.71828… 是自然对数的底数.
　（Ⅰ）证明：函数y = f(x) 在(0,+∞）上有唯一零点；
　（Ⅱ）记x₀ 为函数y = f(x) 在(0,+∞）上的零点，证明：　　（ⅰ） ; 　（ⅱ）x₀ f(e^x0) ≥ (e - 1)(a-1)a.