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2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 　数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合A = {-1,0,1,6}，B = {x∣x > 0, x ∈R}，那么A ∩B =   ▲   .

2. 已知复数(a + 2i)(1 + i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是   ▲   .

3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是   ▲   . 　4. 函数y = 的定义域是   ▲   .

5. 已知一组数据6，7，8，8，9，10， 则该组数据的方差是   ▲    .

6. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是   ▲   .

7. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x² - y²/b²=1（b > 0）经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是   ▲   .

8. 已知数列{ a_n }(n ∈N^*)是等差数列，S_n 是其前n 项和.若a₂a₅ + a₈ = 0，S₉ = 27， 则S₈ 的值是   ▲   .

9. 如图，长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁ 的体积是120，E 为CC₁ 的中点，在则三棱锥E - BCD 的体积是   ▲    .

10. 在平面直角坐标系xOy 中,P是曲线y = x +4/x(x > 0)上的一个动点,则点P 到直线x +y = 0 的距离的最小值是   ▲   .

11. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y = ㏑x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是   ▲    .

12. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA，AD 与CE 交于点O . 若AB·AC= 6AO·EC，则AB/AC 的值是   ▲   .

13. 已知tan a / tan(a + π/4) = -2/3，则sin(2a +π/4)的值是   ▲    .

14. 设f(x) ，g(x) 是定义在R 上的两个周期函数，f(x) 的周期为4，g(x) 的周期为2，且f(x) 是奇函数.当x∈(0,2]时，f(x) = ,g(x) = (k(x +2), 0<x≤1. -1/2, 1<x≤2.)其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f(x) = g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是   ▲   .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题14分） 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c .
　（1）若a = 3c ，b = ，cosB =2/3，求c 的值 ； 　　（2）若sinA /a = cosB /2b，求sin(B +π/2)的值 .

16. （本小题14分） 如图，在直三棱柱ABC - A₁B₁C₁ 中，D，E 分别为BC，AC中点，AB = BC .
　求证：（1）A₁B₁ ∥平面DEC₁ ； 　　（2）BE⊥C₁E.

17. （14分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x²/a² + y²/b²=1(a >b > 0)的焦点为F₁(-1,0)，F₂(1,0) .过F₂ 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F₂ ：(x - 1)² + y² = 4a² 交于点A ，与椭圆C交于点D .连结AF₁ 并延长交圆F₂ 于点B ，连结BF₂ 交椭圆C于点E ，连结DF₁ .已知DF₁ = 5/2 .　（1）求椭圆C 的标准方程； 　（2）求点E 的坐标 .

18. （本小题16分） 如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型公路PB，QA，规划要求：线段PB ，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O半径.已知点A，B到直线l 的距离为AC和BD (C，D为垂足)，测得AB=10，AC=6，BD=12 (单位：百米).
   （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；   （2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
   （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d (单位：百米)，求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离.

19. （本小题16分）设函数f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，a，b，c∈R ，f ´(x) 为f(x) 的导函数.
　（1）若a = b = c，f(4) = 8，求a 的值； 　（2）若a ≠ b，b = c，且f(x) 和f ´(x) 的零点均在集合{-3,1,3}中，求f(x) 的极小值；
　（3）若a = 0，0 < b ≤ 1 ，c = 1 ，且f(x) 的极大值为M ，求证：M ≤ 4/27.

20. （本小题16分） 定义首项为1且公比为正数的等比数列“M - 数列”.
　（1）已知等比数列{ a_n }( n ∈N^*) 满足：a₂a₄ = a₅ ，a₃ - 4a₂ + 4a₁ = 0，求证：数列{ a_n }为“M - 数列”；
　（2）已知数列{ b_n }( n ∈N^*) 满足：b₁ = 1，1/S_n = 2/b_n- 2/b_n+1  其中S_n 为数列{ b_n }的前n 项和.　①求数列{ b_n }的通项公式；　②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{ c_n }( n ∈N^*) ，对任意正整数k ，当k ≤ m时，都有c_k ≤ b_k ≤ c_k+1 成立，求m 的最大值.

数学II（附加题）21.【选做题】包括A、B、C、D四小题，选其中两小题，在相应答题区作答.若多做，则按作答的前两小题评分.
A. [选修4-1：矩阵与变换]（本小题10分） 已知矩阵A = [³₂ ¹₂]. 　（1）求A² ；　（2）求矩阵A 的特征值.

B. [选修4-2：坐标系与参数方程]（10分） 在极坐标系中，已知两点A(3, π/4)，B(, π/2)，直线l 的方程为ρsin(θ+π/4)=3.
　　（1）求A，B 两点间的距离；　　（2）求点B 到直线l 的距离.

C. [选修4-4：不等式选讲]（本小题10分） 设x ∈R，解不等式∣x∣+∣2x - 1∣>2.

【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. （本小题10分） 设(1 + x )ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ，n ≥ 4，n ∈N^*.已知a = 2a₂a₄ .
　　（1）求n 的值；　　（2）设(1 + )ⁿ = a + b ，其中 a，b ∈N^*，求a² - 3b² 的值.

23. （本小题10） 在平面直角坐标系xOy 中，设点集A_n= {(0,0)，(1,0)，(2,0)，…，(n,0)}，B_n= {(0,1)，(n,1)}，C_n= {(0,2)，(1,2)，(2,2)，…，(n,2)}，n ∈N^*.令M_n = A_n ∪ B_n ∪ C_n .从集合M_n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.
　　（1）当n = 1时，求X 的概率分布；　　（2）对给定的正整数n (n ≥ 3)，求概率P(X ≤ n)(用n 表示).