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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合A = {1,2}，B = {a,a2 + 3}若A∩B = {1}，则实数a 的值为 ▲ . 
2. 已知复数z =(1 + i)(1 + 2i)，其中i是虚数单位，则z 的模是 ▲ .
3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件 .
4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为1/16，则输出的y 的值是 ▲ .
5. 若tan(a - π/4)= 1/6，则tan a = ▲ .
6. 如图，圆柱O1O2 内有一球O，该球与圆柱上、下面及母线均相切。记圆柱O1O2 的体积V1，球O 体积V1，则V1/V2值是 ▲ .
7. 记函数
的定义域为D .在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x ∈D 的概率是 ▲ .
8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2 /3 -y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1,F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ▲ .
9. 等比数列{ an }的各项均为实数，其前n 项的和为Sn，已知S3 = 7/4，S6 = 63/4，则 a8 = ▲ .
10. 某公司一年买某货物600吨，每次买x 吨，运费6万元/次，一年总存储费用4x 万元，要一年总运费与总存储和最小，则x 值是 ▲ .
11. 已知函数f(x) = x3 - 2x + ex - 1/ex，其中e 是自然数对数的底数，若f(a - 1) + f(2a2) ≤ 0，则实数a 的取值范围是 ▲ .
12. 如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，
，OA与OC的夹角为a，且tan a =7，OB与OC的夹角为45°.若OC = m OA + n OB(m,n ∈R)，则m + n = ▲ .
13. 在平面直角坐标系xOy中，A(-12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2 +y2 =50上, 若PA·PB ≤ 20, 则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .
14. f(x) 是定义在R 且周期1函数，区间[0,1）上， f(x) =(x2,x∈D; x, x∉D.)集合D={x∣x= (n-1)/n, n∈N*}，方程f(x) - lgx = 0解个数是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （14分） 如图三棱锥A–BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E,F(E 与A,D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC； （2） AD⊥AC.
16. （本小题满分14分） 已知向量a =(cos x,sin x),b =(3,-
),x ∈[0,π].
（1）若a∥b，求x 的值； （2）记f(x) =a · b，求f(x) 的最大值和最小值以及对应x 的值.
17. （本小题14分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x2/a2 + y2/b2=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F1,F2 ，离心率为1/2，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1 作直线PF1 的垂线l1 ，过点F2 作直线PF2 的垂线l2 .
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若直线l1，l2 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.
18. （本小题16分） 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1 的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均
为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度;
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l 没入水中部分的长度.
19. （本小题16分）对于给定的正整数k，若数列{ an }满足： an-k + an-k+1 +…+ an-1 + an+1 +…+ an+k-1 + an+k = 2kan ，对任意正整数n ( n > k)总成立，则称数列{ an }是“P(k)数列”.
（1）证明：等差数列{ an }是“P(3)数列”； （2）若数列{ an }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{ an }是等差数列.
20. （本小题16分） 已知函数f(x) =x3 + ax2 + bx + 1(a > 0,b ∈R)有极值，且导函数f′(x) 的极值点是f(x) 的零点.
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2 > 3a；
（3）若f(x) ,f′(x) 这两个函数的所有极值之和不小于-7/2，求a 的取值范围。
数学II（附加题）21.【选做题】包括A、B、C、D四小题，选其中两小题，在相应答题区作答.若多做，则按作答的前两小题评分.
A. [选修4-1：几何证明选讲]（本小题10分） 如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C，AP⊥PC，P 为垂足.
求证：（1）∠PAC =∠CAB； （2） AC 2 = AP · AB.
B. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题10分） 已知矩阵A= [01 10]，B= [10 02].
（1）求AB； （2）若曲线 C1: x2/8 + y2/2 = 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2 的方程.
C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分） 在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为(x=-8+t, y=t/2)（t 为参数），曲线C 的参数方程为(x= 2 s2, y=2s)（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值 .
D. [选修4-5：不等式选讲]（本小题10分） 已知a,b,c,d 为实数，且a2 + b2 =4,c2 + d 2 =16，证明ac + bd ≤8.
【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.在答题卡指定区域作答.写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. （10分） 如图，平行六面体ABCD - A1B1C1D1 中，AA1⊥平面ABCD，且AB = AD =2，AA1 =，∠BAD =120°.
（1）求异面直线A1B 与A1C 所成角的余弦值； （2）求二面角B - A1D- A 的正弦值.
23. （本小题10） 已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ,n ∈N*,n ≥ 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m + n 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉（k =1,2,3，…，m + n ）.
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X )是X 的数学期望，证明： E(X ) < n / (m + n)(n - 1).