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2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 　数学

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）集合A={x∣-1 < x< 1}，B={x∣0 ≤ x≤ 2}，则A∪B=（A）{x∣0 ≤ x< 1}（B）{x∣-1 < x≤ 2}（C）{x∣1 < x≤ 2}（D）{x∣0 < x<1}

（2）在复平面内，复数 z 满足(1 - i) z = 2,则z = （A）1（B） i（C）1 - i（D）1 + i

（3）设函数f(x) 的定义域为[0,1]，则"函数 f(x) 在[0,1]上单调递增" 是 "函数f(x) 在[0,1]的最大值为f(1)" 的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（4）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（A）3/2 +/2（B）1/2（C） 1/2 + /2（D）/2

（5）双曲线 x²/a² - y²/b²=1 的离心率为2，且过点(,)，则双曲线的方程为
（A）x²/3 - y² = 1 （B）x² - y²/3 = 1（C）x²/2 - y²/3 = 1（D）x²/3 - y²/2 = 1

（6）{a_n}和{a_n}是两等差数列，且a_k/b_k (1≤ k≤5)常值.已知a₁=288，a₅=96，b₁=192，则b₃值为（A）64（B）100（C）128（D）132

（7）已知函数f(x) = cos x - cos 2x，则该函数

（8）某时段内，降落到地面的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称这个时段的降雨量.24h降雨量等级如下：小雨0.1～9.9；中雨10.0～24.9；大雨25.0～49.9；暴雨50.0～99.9mm。某小组自制底面直径200mm，高300mm圆锥形雨量器. 若降雨过程中，雨量器收集24h的雨水高度是150mm.则24h降雨量的等级是 （A）小雨（B）中雨（C）大雨（D）暴雨

（9）圆C: x² +y² =4，直线L： y = kx +m，k 值变化时，直线被圆C截弦长最小值2，则m值为（A）± 2（B）±（C）±（D）± 3

（10）数列{a_n}是递增的整数数列，且a₁ ≥ 3 a₁ + a₂ + … + a_n = 100，则n 的最大值为（A）9　（B）10　（C）11　（D）12

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
（11）在(x³ - 1/x)⁴ 的展开式中，常数项为_____. （用数字作答）

（12）已知抛物线C:y² =4x 焦点为F ，点M 在抛物线上. 若∣MF=6，则点M 横坐标为___;作MN垂直x轴于点N，则△MNF的面积为___.

（13）已知向量a = (2,1)，b = (2,-1)，c = (0,1) ，则(a + b) · c =______；a · b =______.

（14）若点P(cosθ,sinθ) 与点Q(cos(θ + π/6),sin(θ + π/6)) 关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值 _____.

（15）已知函数f(x) = ∣lg x∣ - kx - 2，给出下列四个结论,其中正确结论的序号是______.

三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题13分） 已知在△ABC 中，c = 2b cosB，C = 2π/3.
（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度.
　　①：c = b；②：△ABC 周长为4 + 2；③面积为S_△ABC = 3/4 .

（17）（本小题13分） 已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁ ， 点E 为A₁D₁ 中点，直线B₁C₁ 交平面CDE 于点F.
（I）证明:点F 为B₁C₁ 的中点 ；（II）若点M 为棱A₁B₁ 上一点，且二面角M - FC - E 的余弦值为/3，求A₁M / A₁B₁ 的值.

（18）（本小题14分） 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取"k合1检测法"，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染新冠病毒.
（Ⅰ）（ⅰ）若采用"10合1检测法"，且两名患者在同一组，求总检测次数；
　（ⅱ）已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为1/11,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);
（Ⅱ）若采用"5合1检测法"，检测次数Y 的期望为E(Y)， 试比较E(X) 和E(Y) 的大小（直接写出结果）；

（19）（本小题15分） 已知函数f(x) = (3-2x) / (x² +a).
（Ⅰ）若a = 0，求y = f(x) 在点(1,f(1) )处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f(x) 在x = -1 处取得极值，求f(x) 的单调区间，以及最大值和最小值.

（20）（本小题15分） 已知椭圆E : x²/a² + y²/b² = 1(a > b > 0)过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）过点P(0,-3)的直线l 斜率为k ,交椭圆E 于不同的两点B、C,直线AB，AC交直线y=-3于点M、N,若∣PM∣+∣PN∣≤ 15，求k的取值范围.

（21）（本小题15分） 定义R_p 数列{a_n}：对实数p ，满足：
　　①a₁ + p ≥ 0，a₂ + p = 0；　　②n∈N^*，a_4n-1 < a_4n；　　③m,n∈N^*，a_m+n ∈{a_m + a_n + p, a_m + a_n + p + 1}.
（Ⅰ）对于前四项2,-2,0,1 的数列，可以是R₂ 数列吗？说明理由； （Ⅱ）若{a_n}是R₀ 数列，求a₅ 的值；
(Ⅲ)是否存在p ∈ R，使得存在R_p 数列{a_n}，对n∈N^*，满足S_n ≥ S₁₀？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.