| student study |
| of school |
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知复数z = 2 + i ，则z · Z = （A）
（B）
（C）3（D）5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A）1（B）2（C）3（D）4
（3）直线l 参数方程为{x= 1+3t, y=2+4t}（t 参数），点(1,0)到直线l 距离是（A）1/5（B）2/5（C）4/5（D）6/5
（4）已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a > b >0）的离心率为1/2，则
（A） a2 = 2b2 （B）3a2 = 4b2（C） a = 2b（D）3a = 4b
（5）若x，y 满足∣x∣≤ 1 - y，且y ≥ 1，则3x + y 的最大值为（A）-7（B）1（C）5（D）7
（6）天体的明暗程度用星等或亮度描述.两颗星的星等与亮度满足m1 - m2 = 5/2 lg E1/E2，其中星等为mk 的星的亮度为Ek(k =1,2).太阳的星等-26.7，天狼星的星等-1.45，则太阳与天狼星的亮度比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1
（7）设点A，B，C 不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“∣AB + AC∣>∣BC∣”的
| （A）充分而不必要条件 | （B） 必要而不充分条件 | （C）充分必要条件 | （D）既不充分也不必要条件 |
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2 + y2 =1 + ∣x∣y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线C 所围成的"心形"区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.
（9）函数f(x) = sin22x 的最小正周期是_____. 
（10）设等差数列{an}的前n 项和为Sn .若a2 =-3，S5 = -10，则a5 =______，Sn的最小值为______.
（11）某几何体由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图示.网格纸上小正方形边长为1，该几何体体积为____.
（12）已知l ，m 是平面a 外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m②m ∥a③l ⊥a 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______.
（13）设函数f(x) =e + ae(a 为常数). 若f(x) 为奇函数，则a =______；若f(x) 是R上的增函数，则a 的取值范围是______.
（14）李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒，65元/盒，80元/盒，90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x =10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付______元；
② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为______.
三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题13分） 在△ABC 中，a = 3，b - c = 2，cosB = -1/2.（Ⅰ）求b，c 的值； （Ⅱ）求sin(B - C)的值.
（16）（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3. E为PD的中点，点F在PC上，且PF/PC=1/3.（I）求证：CD ⊥平面PAD ；（II）求二面角F -AE -P 的余弦值；
（III）设点G 在PB 上，且PG /PB = 2/3. 判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
（17）（本小题13分） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
使用A： (0,1000]的18人，(1000,2000]的9人，大于2000的3人。使用AB：(0,1000]的10人，(1000,2000]的14人，大于2000的1人。
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.
根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
（18）（本小题14分） 已知抛物线C：x2 = -2py 经过点(2，-1).
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线y = -1 分别交直线OM，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.
（19）（本小题13分） 已知函数f(x) = 1/4 x3 - x2 + x .
（Ⅰ）求曲线y =f(x) 的斜率为1 的切线方程 ；（Ⅱ）当x∈[-2,4]时，求证：x- 6 ≤ f(x) ≤ x ；
（Ⅲ）设F(x) =∣f(x) - (x + a)∣(a∈R)，记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时，求a 的值.
（20）（本小题13分） 已知数列{an}，从中选取第i1 项、第i2 项、…、第im 项(i1 < i2 < … < im)，若ai1 < ai2 < … < aim ，则称新数列ai1 , ai2 , … , aim 为{an}的长度为m 的递增子列.规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列.
（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an} 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为am0 ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为an0 .若p < q，求证:
am0< an0；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s - 1，且长度为s 末项为
2s - 1的递增子列恰有2s-1个(s =1,2,…)，求数列{an}的通项公式.