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2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 　数学 （理科）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合A ={x∣∣x∣﹤ 2}，B ={-2,0,1,2}，则A∩B = （A）{0,1}（B）{-1,0,1}（C）{-2,0,1,2}（D）{-1,0,1,2}

（2）复平面内，复数1/(1-i)的共轭复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）1/2（B）5/6（C）7/6（D）7/12

（4）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A） f（B） f（C） f（D） f

（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4

（6）设a，b 均为单位向量，则“∣a - 3b∣=∣3a + b∣”是“a⊥b”的

（7）平面直角坐标系中,d 为点P(cosθ,sinθ)到直线x -my -2 =0的距离.θ，m变化时,d 最大值（A）1（B）2（C）3（D）4

（8）设集合A ={(x,y)∣x - y ≥ 1，ax + y > 4，x - ay ≤ 2}，则
（A）对任意实数a ，(2,1)∈A （B）对任意实数a ，(2,1)∉ A（C）当且仅当a < 0时，(2,1)∉ A（D）当且仅当a ≤ 3/2时，(2,1)∉ A

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.
（9）设{a_n} 是等差数列，且a₁ = 3，a₂ + a₅ =36，则{a_n} 的通项公式为_____.

（10）在极坐标系中，直线ρcosθ + ρsinθ = a(a > 0)与圆ρ = 2cosθ 相切，则a =______.

（11）设函数f(x) = cos(ωx - π/6)(ω > 0). 若f(x) ≤ f(π/4) 对任意的实数x 都成立，则ω 的最小值为______.

（12）若x，y满足x + 1 ≤ y ≤ 2x，则2y - x 的最小值是______.

（13）能说明“若f(x) > f(0) 对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x) 在[0,2]上是增函数"为假命题的一个函数是______．

（14）已知椭圆M：x²/a² + y²/b²=1（a > b >0），双曲线N：x²/m² - y²/n²=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为______；双曲线N 的离心率为______.

三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题13分）   在△ABC 中，a = 7，b = 8，cosB = -1/7.（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高.

（16）（本小题14分）   如图，在三棱柱ABC- A₁B₁C₁ 中，CC₁⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA₁，AC，A₁C₁，BB₁ 的中点，AB =BC =，AC =AA₁ =2.
（I）求证：AC ⊥平面BEF ；（II）求二面角B - CD - C₁ 的余弦值；（III）证明：直线FG 与平面BCD 相交．

（17）（本小题12分）   电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影第一类 140部，好评率0.4。第二类50部，好评率0.2。第三类300部，好评率0.15。第四类200部，好评率0.25。第五类800部，好评率0.2。第六类510部，好评率0.1。  假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用"ξ_k =1" 表示第k 类电影得到人们喜欢，"ξ_k =0" 表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6,).写出方差Dξ₁,Dξ₂,Dξ₃,Dξ₄,Dξ₅,Dξ₆ 的大小关系．

（18）（本小题13分）  设函数f(x) = [ax² - (4a + 1)x + 4a + 3]e^x .
（Ⅰ）若曲线y =f(x) 在点(1,f(1) )处的切线与x 轴平行， 求a ；（Ⅱ）若f(x) 在x = 2 处取得极小值，求a 的取值范围.

（19）（14分） 已知抛物线C:y² = 2px 经过点P (1,2),过点Q(0, 1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N.（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM=λQO，QN=μQO，求证：1/λ + 1/μ 为定值.

（20）（本小题14分） 设n 为正整数，集合A ={a∣a =(t₁,t₂,…,t_n),t_k∈{0,1},k = 1,2,…,n}.对于集合A 中的任意元素α =(x₁,x₂,…,x_n)和β =(y₁,y₂,…,y_n)，记  M(α,β) = 1/2 [(x₁ + y₁ -∣x₁ - y₁∣) + (x₂ + y₂ -∣x₂ - y₂∣) + …+ (x_n + y_n -∣x_n - y_n∣)].
（Ⅰ）当n = 3时，若α =(1,1,0)，β =(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；
（Ⅱ）当n = 4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α,β ，当α,β 相同时，M(α,β)是奇数；当α,β 不同时， M(α,β)是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n,设B是A子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β，M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.