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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 　数学 （文科）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知U =R，集合A ={x∣x ﹤-2或x >2}，则C_U A = （A）(-2,2 ) （B）(-∞,-2 )∪(2,+∞ )（C）[-2,+2 ]（D）(-∞,-2 ]∪[2,+∞ )

（2）若复数(1- i )(a + i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A）(-∞,1 ) （B）(-∞,-1 )（C）(1,+∞ )（D）(-1,+∞ )

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）2（B）2/3（C）5/3（D）8/5

（4）若x , y 满足 (x≤3, x+y≥2, y≤x)，则x + 2 y 的最大值为 （A）1（B）3（C）5（D）9

（5）已知函数f(x) = 3^x-(1/3)^x，则 f(x) （A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是减函数

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60（B）30（C）20（D）10

（7）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m = λn”是“m ·n <0 ”的

（8）围棋状态空间复杂度的上限M 约为3³⁶¹，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为10⁸⁰.则下列各数中与M /N 最接近的是（lg3 ≈ 0.48） （A）10³³（B）10⁵³（C）10⁷³（D）10⁹³

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sina =1/3，则sinβ =______．

（10）若双曲线x² - y² /m = 1的离心率为，则实数m =___．　 （11）已知x ≥0，y ≥0且x + y =1，则x² + y² 取值范围是___．

（12）已知点P 在圆x² + y² =1上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO·AP的最大值为______．

（13）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a >b >c，则a + b > c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为_______．

（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
     （ⅰ）男学生人数多于女学生人数；     （ⅱ）女学生人数多于教师人数；     （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
      ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______．     ②该小组人数的最小值为______．

三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题13分）  已知等差数列{a_n} 和等比数列{b_n} 满足a₁ = b₁ = 1, a₂ + a₄ = 10, b₂b₄ = a₅ ．
（Ⅰ）求{a_n} 的通项公式；（Ⅱ）求和：b₁ + b₃ + b₅ +…+ b_2n-1 ．

（16）（本小题13分）  已知函数 f(x) = cos(2x - π/3）- 2sinx cosx.
（Ⅰ）求f(x) 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x ∈[-π/4 ,π/4]时，f(x) ≥ - 1/2.

（17）（13分）  某大学400名学生参加测评，根据男女生人数比例，用分层抽样方法随机抽取100名，记录他们的分数，数据分成7组：[20,30），[30,40），......，[80,90]，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

（18）(本小题14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA = AB = BC = 2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E-BCD 的体积．

（19）（本小题14分）  已知椭圆C 的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为/2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N，过D作AM的垂线交BN于点.E求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5.

（20）（本小题13分）  已知函数f(x) = e^xcosx - x
（Ⅰ）求曲线y = f(x) 在点(0,f(0) )处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x) 在区间[0,π/2]上的最大值和最小值.