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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 　数学 （理科）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）集合A={x∣-2﹤x < 1}，B={x∣x< -1或x >3}，则A∩B =（A）{x∣-2﹤x<-1}（B）{x∣-2﹤x<3}（C）{x∣-1﹤x<1}（D）{x∣1﹤x<3}

（2）若复数(1 - i )(a + i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A）(-∞,1 ) （B）(-∞,-1 )（C）(1,+∞ )（D）(-1,+∞ )

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）2（B）2/3（C）5/3（D）8/5

（4）若x , y 满足 (x≤3, x+y≥2, y≤x)，则x + 2 y 的最大值为 （A）1（B）3（C）5（D）9

（5）已知函数f(x) = 3^x - (1/3)^x，则 f(x)（A）是奇函数，且在R上是增函数
（B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数

（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m = λn”是“m ·n < 0 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3（B）2（C）2（D）2

（8）围棋状态空间复杂度的上限M 约为3³⁶¹，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为10⁸⁰.则下列各数中与M /N 最接近的是（lg3 ≈ 0.48） （A）10³³（B）10⁵³（C）10⁷³（D）10⁹³

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.
（9）若双曲线x² - y² /m = 1的离心率为，则实数m =______.

（10）若等差数列{a_n} 和等比数列{b_n} 满足a₁ = b₁ = -1,a₄ = b₄ = 8，则a₂ /b₂ =______.

（11）在极坐标系中，点A 在圆ρ² - 2ρcosθ - 4ρsinθ + 4 = 0上，点P 的坐标为（1,0），则∣A P ∣的最小值为_____.

（12）在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sina = 1/3，则cos(a - β )=______.

（13）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a >b >c，则a + b >c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为______．

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A_i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B_i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.
      ①记Q_i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q₁ ,Q₂ ,Q₃ 中最大的是_______.
      ②记P_i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则P₁ ,P₂ ,P₃ 中最大的是______.

三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题13分）  在△ABC 中，∠A = 60°,C = 3/7 a. （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.

（16）（本小题14分）   如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB上，PD∥平面MAC,PA =PD =,AB =4.
（I）求证：M 为PB 的中点；（II）求二面角B - PD - A 的大小；（III）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．

（17）（本小题13分） 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选两人，记ξ 为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ 的分布列和数学期望E(ξ )；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）

（18）（本小题14分）  已知抛物线C: y² = 2px 过点P (1，1),过点(0, 1/2)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP,ON 交于点A，B ，其中O 为原点.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.

（19）（本小题13分）   已知函数f(x) = e^xcosx - x .
（Ⅰ）求曲线y = f(x) 在点(0,f(0) )处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x) 在区间[0,π/2]上的最大值和最小值.

（20）（本小题13分） 设{a_n} 和{b_n} 是两个等差数列，记 c_n = max{b₁ - a₁n,b₂ - a₂n,…,b_n - a_nn,}( n = 1,2,3,…)， 其中max(x₁,x₂,…,x_s )表示x₁,x₂,…,x_s 这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若a_n= n,b_n= 2n - 1，求a₁,a₂,a₃ 的值，并证明{c_n} 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m，当n ≥ m 时，c_n/n >m ；或者存在正整数m，使得c_m，c_m+1，c_m+2,… 是等差数列．