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2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 　数学

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A = {-1,0,1}，B = {1,3,5}，C = {0,2,4}，则 (A∩B)∪C =（A）{0}（B）{0,1,3,5}（C）{0,1,2,4}（D）{0,2,3,4}

（2）已知a∈R，则“a > 6”是“a² > 36”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3） 函数y = ㏑∣x∣/ (x²+2)的图像大致为

（4）从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),…,[94,98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是（A）20（B）40（C）64 （D）80

（5）设a = ㏒₂0.3，b = ㏒_½0.4，c = 0.4^0.3 ，则a，b，c 的大小关系为

（6）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π/3 ，两个圆锥的高之比为1:3 ，则这两个圆锥的体积之和为

（7）若2^a = 5^b = 10，则1/a + 1/b =（A）-1（B）lg7（C）1（D）㏒₇10

（8）已知双曲线 x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0） 的右焦点与抛物线y² = 2px (p> 0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若∣CD∣=∣AB∣ ．则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2（D）3

（9）设a∈R，函数f(x) = ，{cos (2πx - 2πa), x<a. x² - 2(a+1)x + a²+5, x≥a}若f(x) 在区间(0,+∞) 内恰有6个零点，则a 的取值范围是

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
（10）i是虚数单位，则 (9+2i) / (2+i)=          . 　（11）在(2x³ + 1/x)⁶的展开式中，x⁶ 的系数是_____.

（12）若斜率为 的直线与y 轴交于点A ， 与圆x² + (y - 1)² = 1相切于点B ， 则∣AB∣=____ .

（13）若a >0，b >0，则1/a + a/b² + b 的最小值为_____.

（14）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局. 已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为5/6 和1/5 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_________;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为_____.

（15）DF∥AB 且交AC 于点F，则 ∣2BE+DF∣ 的值为____ ；(DE+DF)•DA 的最小值为____.

三. 解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分） 在△ABC ，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知sinA : sinB : sinC = 2:1:，b = .
　　(Ⅰ)求a 的值；　　(Ⅱ)求cos C 的值；　　(Ⅲ)求sin(2C - π/6) 的值.

（17）（本小题满分15分）如图，在棱长为2 的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.
　　(Ⅰ)求证：D₁F∥平面A₁EC₁；　(Ⅱ)求直线AC₁ 与平面A₁EC₁ 所成角的正弦值；　(Ⅲ)求二面角A - A₁C₁ - E 的正弦值.

（18）（本小题满分15分） 已知椭圆 x²/a² + y²/b²=1（a >b >0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 2 /5，且∣BF∣=.
　（I）求椭圆的方程；
　（II） 直线l 与椭圆有唯一的公共点M ， 与y 轴的正半轴交于点N ， 过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ． 若MP∥BF，求直线l 的方程.

（19）（本小题满分15分）已知{ a_n}是公差为2 的等差数列，其前8项和为64．{ b_n }是公比大于0 的等比数列.b₁ = 4，b₃ - b₂ = 48 .
　　(Ⅰ)求{ a_n }和{ b_n }的通项公式；
　　(Ⅱ)记c_n = b_2n + 1/b_n ，n ∈N^*. 　（i）证明{ c - c_2n}是等比数列； 　　　　（ii）证明 < 2 (n ∈N^*).

（20）（本小题满分16分）已知a > 0，函数f(x) = ax - xe^x.
　（Ⅰ）求曲线y = f(x) 在点(0,f(0) )处的切线方程； 　　（Ⅱ）证明 f(x) 存在唯一的极值点；
　　（Ⅲ）若存在a，使得 f(x) ≤ a + b 对任意x∈R 成立，求实数b 的取值范围.