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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 　数学

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）全集U= {-3.-2-1,0,1,2,3}，集合A= {-1,0,1,2}，B = {-3,0,2,3}，则 A∩(C_UB )=（A）{-3,3}（B）{0,2}（C）{-1,1}（D）{-3,-2,-1,1,3}

（2）设a∈R，则“a > 1"是"a² > a" 的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（3）函数y = 4x / (x² +1)的图像大致是

（4）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49),并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.33,5.47)内的个数 （A）10（B）18（C）20（D）36

（5）若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （A）12π（B）24π（C）36π（D）144π

（6）设a = 3^0.7，b = (1/3)^-0.8，c = ㏒_0.70.8，则a，b，c大小关系为 （A）a < b < c（B）b < a < c（C）b < c < a（D）c < a < b

（7）设双曲线C 的方程为x²/a² - y²/b²=1（a>0,b>0），过抛物线 y² = 4x 的焦点和点(0,b) 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（A）x²/4 - y²/4=1（B）x² - y²/4=1（C）x²/4 - y² =1（D）x² - y² =1

（8）已知函数f(x) = sin(x + π/3).给出下列结论：   ①f(x) 的最小正周期为2π;   ②f(π/2) 是f(x) 的最大值; ③把函数y = sin x 的图像上所有点向左平移π/3个单位长度，可得到函数y = f(x) 的图像. 其中所有正确结论的序号是: （A）①（B）①③（C）②③（D）①②③

（9）已知函数f(x) = {x³,x≥ 0. -x , x<0. 若函数g(x) = f(x) - ∣kx² - 2x∣(k∈R) 恰有4个零点，则k 的取值范围是

（A）(-∞,- 1/2)∪(2,+∞)

（B）(-∞,- 1/2)∪(0,2)

（C）(-∞,0)∪(0,2)

（D）(-∞,0)∪(2,+∞)

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
（10）i是虚数单位，复数 (8-i) / (2+i )=_____. 　（11）在(x + 2/x²)⁵ 的展开式中，x² 的系数是_____.

（12）已知直线x - y + 8 =0 和圆x² + y² = r² (r > 0)相交于A,B 两点. 若|AB| = 6，则r 的值为_____ .

（13）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1/2 和 1/3 . 假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_____；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_____.

（14）已知a >0，b >0，且ab = 1，则 1/2a + 1/2b +8/(a+b)的最小值为_____.

（15）如图，在四边形ABCD 中，∠B = 60°，AB =3，BC =6，且AD= λBC，则AD·AB= -3/2，则实数λ的值为_____，若M,N 是线段BC 上的动点，且NM= 1，则DM·DN的最小值为_____.

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分） 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知a = 2，b = 5，c = .
　　（Ⅰ）求角C 的大小；　　（Ⅱ）求sin A 的值.　　（Ⅲ）求sin(2A + π/4)的值.

（17）（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC - A₁B₁C₁ 中，CC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，AC = BC =2，CC₁ =3，点D,E 分别在棱AA₁ 和棱CC₁ 上，且AD = 1，CB = 2，M为棱A₁B₁ 的中点.
　　（Ⅰ）求证：C₁MB₁D；　　（Ⅱ）求二面角B - B₁E - D 的正弦值；　　（Ⅲ）求直线AB 与平面DB₁E 所成角的正弦值.

（18）（本题15分） 已圆 x²/a² + y²/b²=1（a >b >0）的一个顶点为A(0，-3)，右焦点为F，且∣OA∣=∣OF∣，其中O为原点.
　　（I）求椭圆的方程；　　（II）已知点C 满足3OC = OF，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点. 求直线AB 的方程.

（19）（本小题满分15分）已知{ a_n}为等差数列，{ b_n }为等比数列，a₁ = b₁ =1，a₅ = 5(a₄ - a₃ )，b₅= 4(b₄ - b₃) .
　　（Ⅰ）求{ a_n }和{ b_n }的通项公式；　　（Ⅱ）记{a_n }的前n 项和为S_n，求证：S_nS_n+2 < S (n ∈N^*)；
　　（Ⅲ）对任意的正整数n，设c_n = {(3a_n-2)b_n /(a_na_n+2), n为奇数. a_n-1 / b_n-1 , n为偶数}求数列{c_n }的前2n 项和.

（20）（本小题满分16分）已知函数f(x) = x³ + k ㏑x (k∈R)，f＇(x) 为f(x) 的导函数.
　（Ⅰ）当k = 6时，（ⅰ）求曲线y = f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；　（ⅱ）求函数g(x) = f(x) - f＇(x) + 9/x 的单调区间和极值；
　（Ⅱ）当k ≥ -3时，求证：对任意的x₁，x₂∈[1,+∞)，且x₁ > x₂，有 (-f＇(x₁) +f＇(x₂) ) /2 > (f(x₁) -f(x₂) )/(x₁ - x₂).