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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 　数学（文史类）

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A = {-1,1,2,3,5}，B = {2,3,4}，C = {x ∈R |1≤ x < 3}，则 (A∩C)∪B =（A）{2}（B）{2,3}（C）{-1,2,3}（D）{1,2,3,4}

（2）设变量x，y 满足约束条件 {x+y-2≤0. x-y+2≥0. x≥-1. y≥-1. 则目标函数z = -4x + y 的最大值为 （A）2（B）3（C）5（D）6

（3）设x∈R，则“0 < x < 5”是“∣x - 1∣< 1”的

（4） 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A）5（B）8（C）24 （D） 29

（5）已知a = ㏒₂7，b = ㏒₃8，c = 0.3^0.2 ，则a，b，c 的大小关系为

（6）抛物线y² = 4x 的焦点F ，准线为l .若l 与双曲线x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且∣AB∣=4∣OF∣（O 原点），双曲线的离心率为 （A） （B）（C）2（D）

（7）函数f(x) = Asin(ωx + φ)(A >0,ω >0,∣φ ∣< π)是奇函数，且f(x)最小正周期为π，将y = f(x) 的图象上所有点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），所得图象对应函数为g(x) .若g(π/4) =，则f(3π/8) =

（A）-2

（B）-

（C）

（D）2

（8）已知函数f(x) = {2, 0≤x≤1. 1/x, x>1. 若关于x 的方程f(x) = -1/4 x + a (a∈ R) 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
（9）i是虚数单位，则 ∣(5-i) /(1+i)∣的值为          . 　（10）设x ∈R，使不等式3x² + x - 2 < 0 成立的x 的取值范围为_____.

（11）曲线y = cos x - x/2 在点(0,1)处的切线方程为_____ .

（12）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____.

（13）设x >0，y >0，x + 2y =4，则(x+1)(2y+1) / xy的最小值为______.

（14）在四边形ABCD 中，AD∥BC ，AB =2，AD =5，∠A =30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE，则BD·AE=____ .

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分） 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人.现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况。

    （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
    （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别为A，B，C，D，E，F. 享受情况如右表，其中"○"表示享受，"×"表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
      （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
      （ii）设M 为事件"抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同"，求事件M 发生的概率.

（16）（本小题满分13分）
     在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知b + c = 2a，3c sinB = 4a sinC .
    （Ⅰ）求cosB 的值；    （Ⅱ）求sin(2B + π/6)的值.

（17）（本小题满分13分）
     如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD =2，AD =3.
    （Ⅰ）设G，H 分别为PB，AC 的中点，求证：GH∥平面PAD；
    （Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD ；    （Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

（18）（本题13分） 设{ a_n}是等差数列，{ b_n }是等比数列，公比大于0.已知a₁ = b₁ = 3，b₂ = a₃ ，b₃= 4a₂ + 3 .
  （Ⅰ）求{ a_n }和{ b_n }的通项公式；
  （Ⅱ）设数列{c_n } 满足{c_n } = {1, n为奇数.b_n/2, n为偶数.}　求a ₁c₁ + a₂c₂ +…+a_2nc_2n 满足(n ∈N^*).

（19）（本小题14分）设椭圆 x²/a² + y²/b²=1（a >b >0）的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知∣OA∣= 2∣OB∣ (O 为原点).
    （I）求椭圆的离心率；
    （Ⅱ）设过点F且斜率为3/4的直线l 与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l 相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆方程.

（20）（本小题满分14分）设函数f(x) =㏑x - a(x - 1)e^x ，a∈R.   （Ⅰ）若a ≤ 0，讨论f(x) 的单调性；
    （Ⅱ）若0 < a < 1/e，   （i）证明f(x) 恰有两个零点；  （ii）设x₀ 为f(x) 的极值点，x₁ 为f(x) 的零点，且x₁ > x₀ ，证明3x₀ - x₁  > 2.