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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 　数学（理工类）

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A = {-1,1,2,3,5}，B = {2,3,4}，C = {x ∈R|1≤ x < 3}，则 (A∩C)∪B =（A）{2}（B）{2,3}（C）{-1,2,3}（D）{1,2,3,4}

（2）变量x，y 满足约束条件 {x+y-2≤0. x-y+2≥0. x≥-1. y≥-1. 则目标函数z = -4x + y 的最大值为 （A）2（B）3（C）5（D）6

（3）设x∈R，则“x² - 5x < 0”是“∣x - 1∣< 1”的

（4） 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A）5（B）8（C）24 （D） 29

（5）抛物线y² = 4x 的焦点F ，准线为l .若l 与双曲线x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且∣AB∣=4∣OF∣（O 原点），双曲线的离心率为 （A） （B）（C）2（D）

（6）已知a = ㏒₅2，b = ㏒_0.50.2，c = 0.5^0.2 ，则a，b，c 的大小关系为

（7）已知函数f(x) = Asin(ωx + φ)(A >0,ω >0,∣φ ∣< π)是奇函数，将y = f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x) .若g(x)的最小正周期为2π，且g(π/4) =，则f(3π/8) =

（A）-2

（B）-

（C）

（D）2

（8）已知a∈R.设函数f(x) = {x²-2ax+2a, x≤1. x-a㏑x, x>1. 若关于x 的不等式f(x) ≥0 在R 上恒成立，则a 的取值范围为

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
（9）i是虚数单位，则 ∣(5-i) /(1+i)∣的值为          . 　（10）(2x- 1 / (8x³))⁸的展开式中的常数项为_____.

（11）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____ .

（12）设a ∈ R，直线ax - y + 2 = 0 和圆 {x= 2+2 cosθ, y=1+2 sinθ .(θ为参数)相切，则a 的值为_____.

（13）设x >0，y >0，x + 2y =5，则的最小值为_____.

（14）在四边形ABCD 中，AD∥BC ，AB =2，AD =5，∠A =30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE，则BD·AE=____ .

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分） 在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知b + c= 2a，3c sinB =4a sinC .
　　（Ⅰ）求cosB 的值；　　（Ⅱ）求sin(2B + π/6)的值.

（16）（13分） 甲、乙同学上学期间，每天7:30之前到校概率2/3 .假定甲、乙同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
　　（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
　（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.

（17）（本小题满分13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE ，AD∥BC ，AD⊥AB，AB = AD =1，AE = BC =2.
　（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；　　（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
　　（Ⅲ）若二面角E - BD - F 的余弦值为1/3，求线段CF 的长.

（18）（本小题满分13分设椭圆 x²/a² + y²/b²=1（a >b >0）的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为/5.
　　（I）求椭圆的方程；　　（II）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若∣ON∣=∣OF∣ (O 为原点)，且OP⊥MN，求直线PB 的斜率.

（19）（14分）设{ a_n}是等差数列，{ b_n }是等比数列.已知a₁ =4，b₁ =6，b₂ = 2a₂ -2，b₃= 2a₃+4 . （Ⅰ）求{ a_n }和{ b_n }通项公式；
　（Ⅱ）数列{c_n }满足c₁ =1，c_n = {1,2^k < n<2^k+1. b_k,n=2^k.其中k ∈N^*. 　（i）求数列{a_2n (a_2n -1)}通项公式；（ii）求 ∑a_i c_i (n ∈N^*).

（20）（本小题满分14分）设函数f(x) = e^x cos x ，g(x) 为f(x) 的导函数.
　　（Ⅰ）求f(x) 的单调区间；　　（Ⅱ）当x∈[π/4 ,π/2]时，证明： f(x) + g(x) (π/2 - x ) ≥ 0；
　　（Ⅲ）设x_n 为函数u(x) = f(x) - 1 在区间(2nπ + π/4,2nπ + π/2)内的零点，其中n∈N，证明2nπ + π/2 - x_n <e^-2nπ / (sin x₀ - cos x₀).