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2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 　数学（文史类）

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A = {1,2,6}，B = {2,4}，C = {x ∈R|-1≤ x ≤5}，则 (A∪B)∩C =

（2）设x ∈R，则“2 - x ≥0”是“∣x - 1∣≤ 1”的

（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A） 4/5（B） 3/5（C） 2/5（D）1/5

（4）阅读右面程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值19，则输出N 的值为 （A）0（B）1（C）2 （D） 3

（5）双曲线x²/a² - y²/b²=1（a >0, b >0）左焦点为F ，点A在双曲线渐近线上，△OAF是边长2的等边三角形（O原点），双曲线方程为 （A）x²/4 - y²/12 = 1（B）x²/12 - y²/4 = 1（C）x²/3 - y² = 1（D）x² - y²/3 = 1

（6）已知奇函数f(x) 在R上是增函数.若a = -f(㏒₂1/5) ，b = f(㏒₂4.1) ，c = f(2^0.8) ，则a，b，c 的大小关系为

（7）设函数f(x) = 2sin( ωx + φ )，x ∈ R，其中ω >0，∣φ∣< π.若f(5π/8)= 2，f(11π/8)= 0，且f(x) 的最小正周期大于2π，则 （A）ω = 2/3, φ = π/12（B）ω = 2/3, φ = 11π/12（C）ω = 1/3, φ = 11π/24（D）ω = 1/3, φ = 7π/24

（8）已知函数f(x)= {∣x∣ +2 ,x <1. x + 2/x , x≥1. 设a ∈ R，若关于x 的不等式f(x) ≥ ∣x/2 + a∣在R上恒成立，则a 的取值范围是

（A）[-2 , 2]

（B）[-2 , 2]

（C）[-2 , 2]

（D）[-2 , 2]

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
（9）已知a ∈ R，i 为虚数单位，若(a-i)/(2+i)为实数，则a 的值为         .

（10）已知a ∈ R，设函数f(x) = ax - lnx 的图象在点(1，f(1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为______.

（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______.

（12）设抛物线y²=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l 上,以C为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为____.

（13）若a,b ∈ R，ab > 0，则(a⁴ + 4b⁴ +1)/ab 的最小值为_____.

（13）在△ABC 中，∠A = 60°，AB = 3，AC = 2.若BD= 2DC，AE= λAC- AB(λ∈R)，且AD·AE = -4，则λ 的值为_____.

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知a sinA = 4b sinB ，ac =(a² - b² - c²).
    （I）求cosA 的值；    （II）求sin(2B - A)的值.

（16）（本小题满分13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，播放连续剧时播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表：甲连续剧：70分钟，广告5分钟，收视人次60万。乙连续剧：60分钟，广告2分钟，收视人次25万。
     已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
    （I） 用x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
    （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD⊥PB，AD =1，BC =3，CD =4，PD =2.
     （Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；    （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
    （Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.

（18）（13分） 已知{ a_n }为等差数列，前n 项和S_n(n ∈N^*)，{ b_n }是首项为2等比数列，且公比大于0，b₂ + b₃ =12，b₃ = a₄- 2a₁，S₁₁= 11b₄.   （Ⅰ）求{ a_n }和{ b_n }通项公式；    （Ⅱ）求数列{ a_2nb_n }的前n 项和(n ∈N^*).

（19）（本小题满分14分） 设a,b ∈R，∣a∣≤ 1.已知函数f(x) =x³ - 6x² - 3a(a - 4)x + b， g(x) = e^xf(x) .
    （Ⅰ）求f(x) 的单调区间；    （Ⅱ）已知函数y = g(x) 和y = e^x 的图象在公共点(x₀,y₀)处有相同的切线，
    （ⅰ）求证：f(x) 在x = x₀处的导数等于0；    （ⅱ）若关于x 的不等式g(x) ≤ e^x 在区间[x₀ - 1,x₀ + 1]上恒成立，求b 的取值范围.

（20）（本小题14分）椭圆 x²/a² + y²/b²=1（a >b >0）左焦点为F(-c,0)，右顶点为A，点E 的坐标为(0,c)，△EFA 的面积为b²/2.
    （Ⅰ）求椭圆的离心率；     （Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，∣FQ ∣=3/2c，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c.     （ⅰ）求直线FP 的斜率；    （ⅱ）求椭圆的方程.