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2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 　数学（文史类）

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合A = {x ∈R|  |x| ≤2},B = {x ∈R| x ≤1}, 则  A∩B = （A）(－∞,2] （B） [1,2]（C）[－2,2]（D）[－2,1]

（2） 设变量x, y 满足约束条件 {3x+y-6≥0, x-y-2≤0, y-3≤0,}则目标函数z = y －2x 的最小值为 （A）－7（B）－4（C）1 （D） 2

（3） 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为（A）7（B）6（C）5 （D） 4

（4） 设a,b ∈ R, 则 “(a - b)a² < 0”是“a < b”的

（5） 过点P(2,2) 直线与圆(x -1)² +y² =5相切, 与直线ax -y +1=0垂直, a= （A）-1/2（B）1（C）2（D）1/2

（6） 函数f(x) = sin(2x - π/4)在区间[0,π/2]上的最小值是 （A）-1（B）-/2（C）/2（D）0

（7） 函数f(x) 是定义在R上偶函数, 且在区间[0,+∞]单调递增. 实数a 满足f(㏒₂a) + f(㏒_0.5a) ≤ 2f(1) , a 取值范围是

（8） 设函数f(x) = e^x + x - 2,g(x) = lnx + x² - 3. 若实数a, b 满足f(a) = 0, g(b) = 0,则

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
（9） i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) =        .　（10）已知一个正方体所有顶点在一个球面上. 若球体积为9π/2, 则正方体棱长为    .

（11）已知抛物线y² =8x 的准线过双曲线x²/a² - y²/b²=1(a >0, b >0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程 为        .

（12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, ∠BAD =60°, E 为CD 的中点. 若AC•BE=1， 则AB 的长为            .

（13）如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB//DC, 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于 点E .若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为         .

（14）设a + b = 2, b > 0, 则1/(2∣a∣) + ∣a∣/b的最小值为            .

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
（15） (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤ 4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
质量指标(x, y, z)： A₁(1,1,2);A₂(2,1,1);A₃(2,2,2);A₄(1,1,1);A₅(1,2,1);A₆(1,2,2);A₇(2,1,1);A₈(2,2,1);A₉(1,1,1);A₁₀(2,1,2).
    (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
    (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
    (1.) 用产品编号列出所有可能的结果；      (2.) 设事件B 为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.

（16） (本小题13分) 在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 已知bsinA = 3c sinB，a = 3，cosB =2/3.
    (Ⅰ) 求b 的值；    (Ⅱ) 求sin(2B - π/3)的值.

（17） (本小题13分) 三棱柱ABC－A₁B₁C₁ 中, 侧棱A₁A⊥底面ABC,各棱长均相等. D, E, F 分别为棱AB, BC, A₁C₁ 的中点.
     (Ⅰ) 证明EF//平面A₁CD ;    (Ⅱ) 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁ ;    (Ⅲ) 求直线BC 与平面A₁CD 所成角的正弦值.

（18） (本题13分)  椭圆 x²/a² + y²/b²=1（a > b > 0）左焦点F, 离心率/3, 过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4/3 .
    (Ⅰ) 求椭圆方程;    (Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若AC·DB+AD·CB= 8 , 求k值.

（19） (本小题满分14分) 已知首项为3/2 的等比数列{ a_n }的前n 项和为S_n(n ∈N^*), 且-2S₂，S₃，4S₄ 成等差数列.
     (Ⅰ) 求数列{ a_n }的通项公式;    (Ⅱ) 证明S_n + 1/S_n ≤ 13/6(n ∈N^*).

（20） (本小题满分14分) 设a∈[-2,0], 已知函数.f(x) ={x³-(a+5)x,x≤0. x³-x³ (a+3)/2 + ax, x>0.
     (Ⅰ) 证明f(x) 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
    (Ⅱ) 设曲线y = f(x) 在点P_i(x_i,f(x_i))(i =1,2,3)处的切线相互平行, 且x₁x₂x₃ ≠ 0，证明x₁ + x₂ + x₃ > -1/3.