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2021年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 　数学

一、填空题：本大题共12小题，满分54分.第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.
1．已知z₁ = 1 + i，z₂ = 2 + 3i，求z₁ + z₂ =______. 　2．已知A = {x∣ 2x ≤ 1}， B = {-1,0,1}，求A∩B =_______.

3．若x² + y² - 2x - 4y = 0，求圆心坐标为_______. 　4．如图，在正方形ABCD中，AB· AC= ______.

5．已知 f(x) = 3/x + 2,则 f ^-1(1) =________.　6．已知二项式(x + a)⁵ 展开式中，x² 项的系数为80，求a =________.

7．已知 (x ≤3, 2x-y-2≥0, 3x+7-8≥0,)z = x - y，则z 的最大值是______.

8．已知数列a₁ = 3，b_n = a_2n，a_2n的各项和为9，则数列{b_n} 的各项和为 _______.

9．在圆柱中,底面圆半径为1,高为2,上顶面圆的直径为AB,C 是底面圆弧上的一个动点,绕着底面圆周转,则ABC 的面积的取值范围为 ________.

10．有四个不同的馆，甲乙2人每人选2个去参观，求恰有一个馆相同的概率为______.

11．已知抛物线：y² = 2px (p > 0)，若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|= 2，|BF|= 4，|AB|= 3，求直线AB的斜率为______.

12．a_i∈N^*( i=1,2,…,9)，对a_k = a_k-1+1或a_k=a_k+1 - 1 (2 ≤ k ≤ 8)中有且仅有一个成立，且a₁=6，a₉=9，求a₁+a₂+…+a₉ 最小值____.

二、选择题：本大题共4题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
13．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数(　　)A．-3x　B．x³　C．y = log₃x　D．3^x

14．已知参数方程，t ∈ [-1,1]，以下哪个图符合该方程(　　)

15．已知 f(x) = 3 sinx + 2，存在任意的x₁∈ [0,π/2]，都存在x₂∈ [0,π/2]，使得 f(x) = 2 f(x + θ) + 2 成立，则下列选项可行θ的值是(　)

16．已知 x₁,y₁,x₂,y₂,x₃,y₃ 为6个不同的实数，满足①x₁< y₁, x₂< y₂, x₃< y₃；②x₁ + y₁ = x₂ + y₂ = x₃ + y₃；③x₁y₁ + x₃y₃ = 2x₂y₂，以下选项值恒成立的是(　　)A．2x₂ < x₁ + x₃　B．2x₂> x₁ + x₃　C．x < x₁x₃　D．x > x₁x₃

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在长方体ABCD -A₁B₁C₁D₁中.
　　（1）若P 是A₁D₁ 的动点，求三棱锥V_P-ADC； 　　（2）求A₁B₁ 与平面ACA₁C₁ 的夹角大小.

18．（14分）在△ABC 中，已知a = 3，b = 2c .　（1）若A = 2π/3，求S_△ABC；　（2）若2 sinB - sinC = 1,求C_△ABC.

19．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）已知一企业一年营业额1.1 亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16 亿元，每年增长4%.
　　（1）求营业额前20季度的和； 　　（2）请问哪年哪季度营业额是利润的18%？

20．（本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
　　已知椭圆 x²/2 + y²= 1的左右焦点F₁，F₂，直线l 过点P(m, 0)(m < -)，直线l 与椭圆在x 轴上方部分交于A，B，其中A 在线段PB上.
　（1）若B 在椭圆上顶点，且∣BF₁∣=∣PF₁∣，求m 的值； 　（2）若F₁A·F₂A = 1/3，且原点O 直线l 的距离为4/15，求直线l 方程.
　（3）证明：对任意m < -，总存在唯一的直线l 使得AF₁∥BF₂.

21．（本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
　　对于定义域为R 的函数f(x) 以及非空实数集S：若对任意x₁，x₂ ∈ R，当x₂ - x₁ ∈ S 时，都有f(x₂) - f(x₁) ∈ S，则称f(x) 是S 关联的.
　　（1）若f(x) = 2x + 1，则f(x) 是否是[0,+∞]关联的？f(x) 是否是[0,1]关联的？说明理由；
　　（2）设f(x) 是{3}关联的，且当x ∈ [0,3) 时，f(x) = x² - 2x，解不等式2 ≤ f(x) ≤ 3；
　　（3）证明"f(x) 既是{1}关联的，又是[0,+∞)关联的"当且仅有"f(x) 是[1,2]关联的".